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曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導
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外力が作用するとき部材内部に内力（応力）が生じます。この内力による仕事を「ひずみエネルギー」といいます。応力には軸力・曲げモーメント、せん断力の３種類あり、ひずみエネルギーも各応力に対応して３種類あります。
今回は曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方、公式の誘導について説明します。外力の仕事、ひずみエネルギーの詳細は下記が参考になります。
ひずみエネルギーとは？1分でわかる意味、公式の求め方、せん断との関係
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曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導
下図をみてください。梁にモーメントを加えると回転方向に変形します。
しかし、弾性範囲内であれば、力を取り除くと変形も元の状態に戻ります。部材内部に生じる応力が、逆回転に曲げ戻したといえます。これは部材内部に、変形を元に戻すエネルギーが蓄えられていた、ということです。
梁の微小要素を取り出し、曲げモーメントが生じるときのつり合い状態を考えましょう。
この微小要素の微小変形dθを求めましょう。※dθの求め方は「ひずみエネルギー」の本筋とはずれますので簡単に解説します。詳細は下記をご覧ください。
梁に曲げモーメントが生じると上図のようにたわみます。このとき元々の微小長さdxから、さらにΔdxの変位が生じます。この模式図を見ればdxがΔdx水平に変形したように見えます。
求めたいのはdθです。dθ、ρ、dxの関係は
です。※微小な角度＝高さ÷底辺
さらに、
なので、
ですね。
さて、曲げモーメントが作用した場合の外力の仕事は、
です。上式は、外力の仕事を微小範囲に適用しただけです。詳細は下記をご覧下さい。
つり合い状態では、外力の仕事とひずみエネルギーは等しいです。よって、
上式は微小範囲における曲げモーメントによる仕事です。部材全体に蓄えられるひずみエネルギーは部材長さ分、積分すればよいですね。
以上の式で、部材一本当たりの曲げモーメントによるひずみエネルギーは、
です。
まとめ
今回は曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方について説明しました。解き方の流れは軸力によるひずみエネルギーの求め方と同じです。また、梁の曲率とたわみの関係も理解する必要があります。下記も併せて復習しましょう。理解した方はせん断力によるひずみエネルギーに進んでくださいね。
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- 名前 ハナダユキヒロ/MITUME lab主宰.（筆者のコラムはこちら）
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
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