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断面二次モーメントとは何か?

断面二次モーメントとは、部材断面の性質の一つです。では、断面二次モーメントはどのような物理的意味をもつのか?これを知ることで、グッと理解が深まると思います。


・物理的な性質は?

さて、部材の「曲がりにくさ」は材料の性質によって決まります。ゴムよりも木の方が曲がりにくいですし、木よりも鉄の方が曲がりにくいですよね。それは材料定数の違い、すなわちヤング係数の値で決定されます。では、他にはどのような要因が考えられるのでしょうか。そう、もうひとつは「断面の形状」です。要するに同じ鉄でも断面積が大きければより曲がりにくい部材となるはずです。また、H型やI型など様々な形状で曲がりにくさは異なります。 H型鋼については、H鋼とは何か?で説明しています。


断面二次モーメントと近い値に、断面係数があります。断面係数については、断面係数とは何か?で説明しています。


・どういう場面で使用するの?

このように、曲げモーメントに対してどの程度耐えられるかを判断するパラメータとして断面二次モーメントは不可欠です。また、この先で勉強するような部材の剛性を計算するときや、振動特性・座屈などあらゆる場面で登場する概念でもあります。 例えば、たわみの算定式にIを使用します。梁のたわみ-単純梁,等分布荷重-をみてください。


その他、今回の記事に関係する内容として下記の記事を書いています。あわせて参考にしてください。


断面二次モーメントの導出

まず、断面二次モーメントの定義は、

同様にy軸に関する断面二次モーメントは

よって、図のような長方形のx軸に関する断面二次モーメントは、

です。

次節で学ぶ曲げ応力度を計算するときなどは、部材図心軸に関する断面二次モーメントが重要ですから、図心に関するx軸の断面二次モーメントをIuとすれば、

となります。図心に関するx軸の断面二次モーメントを求めるので、積分範囲は0〜b/2です。また、図心x軸に対して対称ですから半分の部材に関して断面二次モーメントを求めれば、その値に2を乗じたものが図心に関するx軸の断面二次モーメントIuです。

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軸から離れた位置にある図形の断面二次モーメントの求め方

さて、もう少し一般的な問題について断面二次モーメントを考えてみましょう。次のような任意の物体についての断面二次モーメントを求めます。まず、原点Oとその座標軸xyを考え、さらに、その座標軸がuvだけ平行移動した場合を考えます。

このように、ある任意の物体についてのx軸に関する断面二次モーメントは、定義式から

で、元の座標軸と変化した座標軸の関係から、

と変形することができますね。同様に、y軸に関しても計算すると、

となります。 さらに、新しい座標軸を図心を原点(xo,yo)にもつ座標軸とした場合、以上に示した式

となるので、

ですね。以上に示した式は、任意の座標(u,v)に関する断面二次モーメントを求める際に良く用いられる式です。この式も重要ですので、導出方法を理解し、式は暗記してもいいくらいですね。


材料力学の中で、とても重要な概念の1つが「断面二次モーメント」です。次章では、実際に断面二次モーメントの計算を行ってさらに、理解しましょう。これまでは、定義式だけの勉強を行ってきましたが、本来は簡便な計算法を用います。その方法で断面二次モーメントを計算し問題に慣れましょう。

 

例題 H型断面、トラス梁、RC梁のIを算定する。

先ほど軸から任意の位置にある図形の断面二次モーメントを求めました。この式は一体いつ使うのでしょうか?


実は、かなり使用する場面があります。例えば、H型鋼の断面二次モーメントを算定する場合を紹介します。


H型断面のIの算定

H型断面は下図のように、中立軸が断面の中央にあります。

このとき、オレンジ色部分(ウェブといいます)は中立軸に対して丁度真ん中に位置していますので、このIは

次に、青部分(フランジといいます)のIを求めます。フランジは中立軸に対して離れた位置にあります。つまり、先ほど勉強した「軸から任意の位置にある図形のIの求め方」が活きてくるわけです。


もう一度、その公式をおさらいすると、

でした。つまり、フランジ部分のIを片側だけ計算すると、

これは片側のフランジのIなので、2倍します。

です。


よって、ウェブとフランジ部分のIを足し合わせてH型断面のIとなります。結果は、

cm4の単位に直すと、

です。

実は、このH型は構造設計の実務でも良く用いる部材の1つ。H-200x100x5.5x8というH型鋼でした。本当はR部分があって、断面がもう少し大きいことから、公称のIは1810と決まっています。


今回の計算結果とほぼ同じなので、計算結果が正しいことも確認できました。


トラス梁のIの算定

下図のようなトラス梁があります(断面図)。上下弦材にH型鋼を用いており、間をつなぐ部材をチャンネル材としました。このトラス材が合理的か否かはひとまず置いといて。

トラス梁のIを求める方法も、先ほどの方法を用いれば簡単です。さて、トラス梁Iは繋ぎ材は考慮しませんから、上下弦材のみのIを求めます。

なので、H型鋼 H-200x100x5.5x8単体のIは1810cm4です。Aは8x100x2+5.5x96x2=2656mu。yは、1000/2=500mmです。

となりました。


いかがでしょうか?いかにトラス梁の断面性能が大きいか理解して頂けたと思います。実務でもトラス梁のIは、上記の計算で求めています。


RC梁の鉄筋を考慮したIの算定

実はRC梁のIも簡単に求めることが可能です。中立軸から離れた位置にある鉄筋のIを考慮するだけです。


詳しくは当HPの「RC梁の鉄筋を考慮した断面二次モーメントの算定方法について」をご確認ください。

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