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【図解】断面二次モーメントとは？公式・H形鋼・たわみとの関係

断面二次モーメントは、部材断面の形による「曲げにくさ」を表す値です。同じ材料でも、断面の形や向きが変わると、曲げにくさは大きく変わります。

同じ材料でも、断面の形や向きが変わると、曲げにくさは大きく変わります。

ここで大事なのは、断面二次モーメントそのものは材料の種類ではなく、断面形状で決まる値だという点です。なお、実際の曲げにくさは、ヤング係数Eと断面二次モーメントIを掛けた曲げ剛性EIで考えます。

断面二次モーメントを感覚的に理解するには、「断面積が中立軸からどれだけ離れているか」を見ると分かりやすいです。同じ断面積でも、中立軸の近くに集まっている断面より、中立軸から遠い位置に断面積がある形の方が、断面二次モーメントは大きくなります。

同じ断面積でも、中立軸から遠い位置に断面積がある形の方が、断面二次モーメントは大きくなります。

H形鋼のフランジが上下に離れて配置されているのも、この考え方と関係します。今回は、断面二次モーメントの意味、公式、H形鋼、たわみとの関係について説明します。

断面二次モーメントと似た用語の断面係数の意味、たわみの計算は下記が参考になります。

断面係数とは

たわみ（撓み）とは？意味・求め方・公式・単位・記号をわかりやすく解説

断面二次モーメントとたわみの関係は？計算式・剛性・座屈荷重との関係

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断面二次モーメントとは？

断面二次モーメントは、部材断面の形による曲げにくさを表す値です。

部材の曲げにくさは、材料そのものの固さと、断面の形の両方で変わります。たとえば、同じ材料でも、薄い板を横に寝かせた場合と、縦に立てた場合では曲げにくさが変わります。

同じ材料でも、断面の形や向きが変わると、曲げにくさは大きく変わります。

専門的にいうと、曲げにくさには下記の値が関係します。

・ヤング係数（材料そのものの固さ。ゴムや木、鉄ごとに値が変わる）

・断面二次モーメント（部材断面の形による固さの違い。正方形とH形では固さが変わる）

ヤング係数の意味は、下記が参考になります。

ヤング係数（弾性係数）とは？求め方と公式、単位、材料ごとの値【図解】

断面二次モーメントと近い値に、断面係数があります。断面係数については、断面係数とは何か？で説明しています。

断面二次モーメントの計算方法・公式・単位

断面二次モーメントの考え方は、簡単にいうと「断面積に、中立軸からの距離の2乗を掛けて足し合わせる」ことです。なお、距離は「中立軸から断面図心までの長さ」です

単純な計算式なので、建築士試験のように時間が足りない、時間が短い場面で使い勝手が良いでしょう

断面二次モーメントは、断面積が中立軸からどれだけ離れているかを表す値です。

ただし、断面二次モーメントの厳密な定義（後述します）としては断面を細かく分け、それぞれの面積に中立軸からの距離の2乗を掛けて足し合わせます（積分をする）。

よって、定義式は I = ∫y²dA で表します。

上記の計算方法が通用するのは、あくまでも単純な形の断面に限ります。

断面二次モーメントの公式

一般的に使う断面二次モーメントの公式を下記に整理します。

代表的な断面形状の断面二次モーメント公式

断面形状	断面二次モーメント	記号の意味
長方形	I = bh3/12	b：幅、h：高さ
円形	I = πd4/64	d：直径
円筒形	I = π(D4−d14)/64	D：外径、d1：内径

ｂは長方形の幅、ｈは高さです。Dは円形・円筒形の外径、d₁は円筒形の内法寸法です。※外径、内法寸法の意味は、下記が参考になります。

外径とは？1分でわかる意味、図、直径との違い、円周の求め方

断面二次モーメントの公式は、下記も参考にしてください。

断面二次モーメントの計算式｜円・パイプ・I型の公式と求め方

この公式のなかでも、とくに「長方形断面の公式：I = bh³/12」は、建築士試験や高専・大学の授業でよく使うので覚えておくとよいでしょう。

長方形断面の断面二次モーメントと計算例

ポイントは、高さｈが3乗になっている点です。つまり、高さｈが大きい方が、断面二次モーメントＩが大きくなりやすいんですね。

長方形断面の断面二次モーメントは、幅bと高さhを使って I=bh³/12 で計算します。

しかも、3乗で掛かってくるので、幅を大きくするのと、高さを大きくするのでは「高さｈを大きくする方が圧倒的に効果的」ということです。

単純な話ですが、この考え方は構造設計の実務でもよく用います。

同じ材料でも、断面の形や向きが変わると、曲げにくさは大きく変わります。

たとえば、幅を固定にして高さｈを変化させた長方形断面の断面二次モーメントを求めます。

幅b＝30cmの場合の長方形断面の断面二次モーメント

幅 b	高さ h	計算式	断面二次モーメント I	ポイント
30cm	10cm	I = 30×103/12	2,500cm4	高さが小さいため、Iも小さい
30cm	20cm	I = 30×203/12	20,000cm4	高さが2倍になると、Iは8倍になる
30cm	30cm	I = 30×303/12	67,500cm4	高さが3倍になると、Iは27倍になる

すると高さ3倍にするだけで、断面二次モーメントは「なんと27倍も大きくなる」んですね。

中立軸とは？

中立軸とは、部材に曲げモーメントが作用したときに、伸びも縮みもしない位置を通る軸のことです。

中立軸は、曲げを受けた部材の中で伸びも縮みもしない位置を通る軸です。

梁に上から荷重がかかると、断面の上側は圧縮され、下側は引張られます。その中間に、圧縮も引張も生じない位置があります。この位置を通る線が中立軸です。

断面二次モーメントを考えるときは、この中立軸から断面積までの距離が重要になります。中立軸から遠い位置に断面積があるほど、断面二次モーメントは大きくなります。

H形鋼では、上下のフランジが中立軸から離れた位置にあります。よって冒頭お話ししたように、同じ断面積でも効率よく断面二次モーメントを大きくできます。

同じ材料でも、断面の形や向きが変わると、曲げにくさは大きく変わります。

中立軸の詳細は下記の記事が参考になります。

中立軸とは？1分でわかる意味、定義、コンクリートの中立軸、合成梁

長方形の図心

長方形の図心は、断面のちょうど真ん中にあります。

幅をb、高さをhとすると、図心の位置は、幅方向でb/2、高さ方向でh/2です。

長方形の図心は、幅方向で b/2、高さ方向で h/2 の位置、つまり断面のちょうど真ん中にあります。

つまり、長方形では「中心に図心がある」と考えれば大丈夫です。

断面二次モーメントの公式 I = bh³/12 は、この図心を通る軸まわりで計算する公式です。

建築士試験では長方形の図心（＝長方形の真ん中）を覚えておけば十分です。

ただし、断面形状が複雑になったり、任意の断面形状になると、単純に図形の真ん中が図心とは限りません。

図心のより詳しい話は下記をご覧ください。

図心ってなに？図心の求め方と断面一次モーメントの関係

断面二次モーメントとたわみ、変形の関係

断面二次モーメントは、曲げにくさ（曲げる力に対する変形）を判断するのに役立ちます。

実際、構造設計の実務では、梁や部材のたわみ・変形が大きいときは、断面二次モーメントを大きくして対応することもあります。

また部材の剛性（かたさ）を計算するとき、振の動特性・座屈などあらゆる場面で活躍します。

「たわみの計算」では断面二次モーメントが必要不可欠です。下式のように、たわみの公式の分母に断面二次モーメントが入っています。

たわみの公式では、分母に断面二次モーメントIが入ります。

よって、断面二次モーメントが大きいほど、分母は大きくなり、たわみは小さくなるのです。

たわみの計算は下記が参考になります。

断面二次モーメントとたわみの関係は？計算式・剛性・座屈荷重との関係

たわみ（撓み）とは？意味・求め方・公式・単位・記号をわかりやすく解説

剛性の意味は下記をご覧ください。

剛性とは？変形しにくさの意味・強度との違い・計算式・単位を解説

建物の梁によく使う断面

構造設計の実務で、梁によく使う断面は、H形断面（アルファベットのHを横に向けた断面）です。

構造設計の実務では、H形鋼のように断面性能を効率よく確保できる形がよく使われます。

これはなぜかというと、

• ・長方形よりも軽い（断面積が小さいので経済合理性が高い）
• ・しかし断面二次モーメントは大きい

からです。

勘違いされやすいですが、H形断面が必ずしも「荷重に最も強いというわけではありません」のでご注意ください。

断面二次モーメントの大きさだけで比較すれば、長方形断面の方が有利です。しかし、より軽量かつ自重も小さくできるH形断面の方が、構造設計ではメリットが大きいのです。

断面二次モーメントだけで比較すると長方形断面が有利ですが、軽量で自重を小さくできるH形断面は、構造設計で大きなメリットがあります。

ちなみに、H形断面は上からの荷重に対して上図の向きで使いますが、風などの横向きの力に対しては、H形断面も横方向に向けて使います。

建物の柱によく使う断面

柱によく使う断面は角型断面です。中空になっている正方形の断面です。

なぜ中空になっているかは、H形断面と理由が似ていて、中空にする方が断面積を減らして軽量化しつつ、断面二次モーメントが大きいままだからです。

角型断面は、X方向・Y方向のどちらから力が作用しても同じように強い断面です。

角型断面はX・Y方向の、どちらから力が作用しても同じように強い（断面二次モーメントが変わらない）断面です。

日本は地震国なので、X・Y方向（あらゆる方向）から地震が作用することを想定しますので、角型断面のように、方向によって断面二次モーメントが変わらない部材が好都合です。

断面二次モーメントの公式の導出

まず初めに、断面二次モーメントの定義から公式を導出します。いきなり公式を覚えるのも良いですが、導出方法を理解することで公式の暗記が不要になります。

断面二次モーメントの定義は、

同様にy軸に関する断面二次モーメントは

よって、図のような長方形のx軸に関する断面二次モーメントは、

です。

次節で学ぶ曲げ応力度を計算するときなどは、部材図心軸に関する断面二次モーメントが重要ですから、図心に関するx軸の断面二次モーメントをIuとすれば、

となります。図心に関するx軸の断面二次モーメントを求めるので、積分範囲は0～b/2です。また、図心x軸に対して対称ですから半分の部材に関して断面二次モーメントを求めれば、その値に2を乗じたものが図心に関するx軸の断面二次モーメントIuです。

図心の意味、断面二次モーメントとの関係は下記をご覧ください。

図心ってなに？図心の求め方と断面一次モーメントの関係

断面二次モーメントと図心の関係は？計算と図心を通らない断面二次モーメントの求め方

軸から離れた位置にある図形の断面二次モーメントの求め方

さて、もう少し一般的な問題について断面二次モーメントを考えてみましょう。次のような任意の物体についての断面二次モーメントを求めます。まず、原点Oとその座標軸xyを考え、さらに、その座標軸がuvだけ平行移動した場合を考えます。

このように、ある任意の物体についてのx軸に関する断面二次モーメントは、定義式から

で、元の座標軸と変化した座標軸の関係から、

と変形することができますね。同様に、y軸に関しても計算すると、

となります。さらに、新しい座標軸を図心を原点（xo,yo）にもつ座標軸とした場合、以上に示した式

となるので、

ですね。以上に示した式は、任意の座標（u,v）に関する断面二次モーメントを求める際に良く用いられる式です。この式も重要ですので、導出方法を理解し、式は暗記してもいいくらいですね。

材料力学の中で、とても重要な概念の1つが｢断面二次モーメント｣です。

次章では、実際に断面二次モーメントの計算を行ってさらに、理解しましょう。

これまでは、定義式だけの勉強を行ってきましたが、本来は簡便な計算法を用います。

その方法で断面二次モーメントを計算し問題に慣れましょう。

例題　Ｈ型断面、トラス梁、ＲＣ梁のＩを算定する

先ほど軸から任意の位置にある図形の断面二次モーメントを求めました。この式は一体いつ使うのでしょうか？

実は、かなり使用する場面があります。例えば、Ｈ型鋼の断面二次モーメントを算定する場合を紹介します。

H形鋼、トラスの意味は下記が参考になります。

H形鋼（H鋼）とは？規格・寸法・材質・用途を解説

トラス構造とは？強さの理由・メリット・デメリット・計算法を解説

Ｈ型断面のＩの算定

Ｈ型断面は下図のように、中立軸が断面の中央にあります。

このとき、オレンジ色部分（ウェブといいます）は中立軸に対して丁度真ん中に位置していますので、このＩは

I＝bh³／12＝5.5×(92*2)³／12=2855189

次に、青部分（フランジといいます）のＩを求めます。フランジは中立軸に対して離れた位置にあります。つまり、先ほど勉強した「軸から任意の位置にある図形のＩの求め方」が活きてくるわけです。

もう一度、その公式をおさらいすると、

でした。つまり、フランジ部分のＩを片側だけ計算すると、

これは片側のフランジのＩなので、２倍します。

です。よって、ウェブとフランジ部分のＩを足し合わせてＨ型断面のＩとなります。結果は、

I=14754132+2855189=17609321 mm⁴

ｃｍ4の単位に直すと、

I=1760 cm⁴

です。

実は、このＨ型は構造設計の実務でも良く用いる部材の１つ。Ｈ-200ｘ100ｘ5.5ｘ8というＨ型鋼でした。本当はＲ部分があって、断面がもう少し大きいことから、公称のＩは1810と決まっています。

今回の計算結果とほぼ同じなので、計算結果が正しいことも確認できました。H形鋼の意味、断面二次モーメントは、下記が参考になります。

H形鋼（H鋼）とは？規格・寸法・材質・用途を解説

h形鋼断面の断面二次モーメントは？5分でわかる求め方、弱軸と強軸の違い、一覧

トラス梁のＩの算定

下図のようなトラス梁があります（断面図）。上下弦材にＨ型鋼を用いており、間をつなぐ部材をチャンネル材としました。このトラス材が合理的か否かはひとまず置いといて。

トラス梁のＩを求める方法も、先ほどの方法を用いれば簡単です。さて、トラス梁Ｉは繋ぎ材は考慮しませんから、上下弦材のみのＩを求めます。

なので、Ｈ型鋼　Ｈ-200ｘ100ｘ5.5ｘ8単体のＩは1810cm4です。Ａは8ｘ100ｘ2+5.5ｘ96ｘ2＝2656m㎡。ｙは、1000/2＝500mmです。

となりました。

いかがでしょうか？いかにトラス梁の断面性能が大きいか理解して頂けたと思います。実務でもトラス梁のＩは、上記の計算で求めています。

トラスの意味は、下記が参考になります。

トラス構造とは？強さの理由・メリット・デメリット・計算法を解説

ＲＣ梁の鉄筋を考慮したＩの算定

実はＲＣ梁のＩも簡単に求めることが可能です。中立軸から離れた位置にある鉄筋のＩを考慮するだけです。

詳しくは当ＨＰの「ＲＣ梁の鉄筋を考慮した断面二次モーメントの算定方法について」をご確認ください。

代表的な断面形状の断面二次モーメント公式

断面形状	断面二次モーメント（Ix）	ポイント
長方形（幅b×高さh）	I = bh3/12	高さの3乗に比例
中空長方形	I = (BH3 - bh3)/12	外形 - 空洞の差
H形鋼（近似）	フランジと ウェブの各Iの合計	フランジが支配的

まとめ

今回は断面二次モーメントについて説明しました。意味が理解頂けたと思います。断面二次モーメントは、部材断面の形による曲げにくさを表す値です。たわみの計算で必要不可欠です。似た用語である断面係数との違いも理解しましょうね。下記も併せて学習しましょう。

断面係数とは

断面二次モーメントの導出方法は？公式の意味と慣性モーメントとの関係

断面二次モーメントと図心の関係は？計算と図心を通らない断面二次モーメントの求め方

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プロフィール

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• 名前　ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


• 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に向けて


• 「構造力学、構造計算、鋼構造、鉄筋コンクリート造、基礎構造、土質力学、水理学、材料力学、数学の基礎」を分かりやすくお伝えします。


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