1. HOME > 構造力学の基礎 > 断面係数とは？苦手な人でもわかる意味・使い方を初心者向けに解説

断面係数とは？苦手な人でもわかる意味・使い方を初心者向けに解説

断面係数とは何でしょうか？『断面』+『係数』という言葉ですから、これは断面に関係することだなと、なんとなく分かります。

実は、こうやって言葉の意味を考えるのは重要です。理系の専門用語１つ決めるために、何十人の偉い先生たちが色々議論をしています。 ですから断面係数という呪文のような言葉も、意味があります。

 

断面係数とは、曲げる力に対する断面の強さ（断面性能）です。もう少し専門的にいうと、曲げる力（曲げモーメント）に対する強さ・抵抗力と言えます。

今回は、そんな断面係数の意味や断面係数の公式、公式の導出方法について分かりやすく説明していきますね。

まずは、断面係数が大きいほど曲げに強くなるイメージを確認しましょう。

同じ大きさの曲げる力が作用しても、断面係数Zが大きい部材ほど曲がりにくく、曲げに対して壊れにくくなります。

ちなみに、下記の項目を理解しておけば、今回の説明がより理解できるはずです。あわせて参考にしてください。

【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒　建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット

断面係数の意味

断面係数は、曲げる力（曲げモーメント）に対する強さです。

たとえば、割りばしを両手で曲げるのと、太い木の棒を曲げるのでは、曲げる力に対する強さが違いますよね。

こうした物理量のひとつが断面係数なんです。

同じ断面積でも、向きで断面係数は変わる

断面係数は、断面積だけで決まるわけではありません。同じ断面積でも、断面の向きによって曲げに対する強さは変わります。

たとえば、断面積が同じ2つの長方形断面を考えます。

• 横長断面：b＝200mm、h＝100mm → Z＝200×100²/6＝333,333mm³
• 縦長断面：b＝100mm、h＝200mm → Z＝100×200²/6＝666,666mm³

どちらも断面積は20,000mm²ですが、縦長にした方が断面係数は2倍になります。これは、長方形断面の断面係数 Z＝bh²/6 では、高さhが2乗で効くためです。

つまり、梁を曲げに強くしたいときは、曲げに対して有利な向きで使うことが大切です。

たとえば、建築の世界には耐風梁という部材があります。耐風梁は、重力を支える梁とは違い、横向きに作用する風に対して抵抗するための部材です。

このように、部材は「どの方向から力を受けるか」によって、断面の向きや使い方が変わります。

断面係数を考えるときは、単に数値を見るだけでなく、力の向きと断面の向きをセットで考えることが大切です。あわせて、強軸と弱軸の違いも理解しておくと分かりやすいです。

設計実務の経験から伝えたいこと。断面係数は「大きければよい」だけではない

ここで大事なのは、断面係数が大きければ何でもよい、という話ではないことです。

たしかに断面係数Zが大きいほど、同じ曲げモーメントに対する曲げ応力度は小さくなります。しかし、部材を大きくすれば、その分だけ材料の量が増えます。材料が増えれば、コストも上がり、自重も大きくなります。

構造設計では、単に断面係数を大きくするだけでなく、できるだけ少ない材料で、必要な断面係数を確保することが重要です。

たとえば、実務では中身が詰まった大きな断面よりも、中空断面やH形断面がよく使われます。これは、材料を中立軸から離れた位置に配置した方が、曲げに対して効率よく抵抗できるからです。

つまり、断面係数を考えるときは、大きさだけでなく、軽さと効率もセットで考えることが大切です。

断面係数と断面二次モーメントの違い

そして断面係数は『断面二次モーメント』という係数と密接な関係があります。

というのも、断面係数は断面二次モーメントから求めた式だからです。

両者とも曲げモーメントにどれだけ抵抗できるか？を意味しています。※断面二次モーメントについては下記の記事が参考になります。

断面二次モーメントとは何か？

一方で断面係数と断面二次モーメントは、構造力学（構造計算）で全く違う使い方をします。具体的には

• ▼断面係数Zは『応力度算定』（σ＝M/Z）
• ▼断面二次モーメンIトは 『たわみの算定』（例δ＝wL^4/384EIなど）

に用いられます。

つまり、断面係数Zと断面二次モーメントIは、どちらも「曲げ」に関係する断面の性質ですが、使う場面が違います。

項目	断面係数 Z	断面二次モーメント I
何を表すか	断面の縁に生じる曲げ応力度を求めるための値	断面が曲げに対してどれだけ変形しにくいかを表す値
主な使い方	曲げ応力度の算定 σ＝M/Z	たわみ・曲げ剛性の算定 EI
単位	mm3、cm3	mm4、cm4
関係式	Z＝I/y	Zを求める元になる値

簡単にいうと、曲げ応力度を知りたいときは断面係数Z、たわみを知りたいときは断面二次モーメントIを使います。

断面係数の公式と計算

まず断面係数の公式をみておきます。

断面係数（Z）は「断面二次モーメントI」を「中立軸から断面最外縁までの距離ｙ」で除した値

です。構造設計の実務では「cm3」を使うことが多いです（mm3だと０が付きすぎて大変なので）。

代表的な断面形状ごとの断面係数の公式は下記の通りです。最初は、長方形断面の Z＝bh²／6 と、断面係数が断面の高さに大きく影響される点を押さえれば十分でしょう。

こんな図形も考えられますね。

この後、公式の導出を２つの方法で説明します。

断面係数を計算するときの注意点

断面係数を計算するときに間違えやすいのが、断面係数そのものを単純に足し算・引き算してしまうことです。

※断面二次モーメントは足し引きして計算できますよね。断面二次モーメントはこの方法で、建築士試験の問題も簡単に解けますが断面係数には使えません。

たとえば中空の長方形断面では、外側の長方形の断面係数から、内側の空洞部分の断面係数を引けばよい、と考えたくなります。しかし、この求め方は正しくありません。

• 誤り：Z＝BH²/6 − bh²/6
• 正しい流れ：まず断面二次モーメントIを求め、その後にZ＝I/yで断面係数を求める

理由は、断面係数Zが「断面二次モーメントIを、最外縁までの距離yで割った値」だからです。

外側長方形のZと内側空洞部分のZでは、割っている距離yが異なります。そのため、Z同士をそのまま引くのではなく、まず断面二次モーメントIを差し引き、最後に外側断面の最外縁までの距離で割る必要があります。

中空長方形断面で上下対称の場合は、まず I＝(BH³−bh³)/12 を求めます。その後、外側断面の最外縁までの距離 H/2 で割ります。

つまり、Z＝(BH³−bh³)/(6H) です。

断面係数の公式の誘導①

前述したように、断面係数Ｚとは簡単に言えば、「曲げモーメントにどれだけ抵抗できるか？」示す値です。この断面係数の大本の式は、当サイトの曲げ応力度の誘導で示しています。下式をみてください。

σ＝Ｍ×y／I

このとき、曲げ応力度の縁応力度は下図に示すように引張側、圧縮側にそれぞれ

• σ₁＝Ｍ×y₁／I
• σ₂＝Ｍ×y₂／I

となりました。

上式を少し簡略化して、σ＝Ｍ／Ｚとしたとき、「Ｚ」を断面係数といいます。つまりＺは、

Ｚ＝Ｉ／ｙ

です。

• σ＝Ｍ/Ｚ

という式を導きました。この式を見て明らかなように、断面係数Ｚが大きければ、曲げ応力度σが小さくなります。また、梁せい（梁の高さ）が大きいほど断面二次モーメントも大きくなります。同様に、断面係数も大きくなるのです。

さて、四角形断面を考えると断面二次モーメントＩ＝bh³/12ですから、断面係数Ｚは

• Ｚ＝I/y＝( bh³/12)/h/2＝bh²/6

となります。

σ＝Ｍ/Ｚを変形して、

Ｍ＝σＺ

です。

σは曲げ応力度ですが、例えば、鋼（スチール）の長期許容曲げ応力度fb＝156です。短期許容応力度fb＝235です。（本来、許容曲げ応力度は横座屈の低減がありますが、ここでは割愛することにします。）

つまり

Ｍ＝σ×Z＝f_b×Z

という式に置き換えることもできます。Maは許容曲げ応力度です。実務では、部材の応力を求めた時点でざっくりMaを上式で計算し、作用応力と見合う部材かどうか確認します。

 

断面係数の不思議（読み飛ばしてもOK）

ところで、一番上の曲げ応力度の式を求める段階で

• Ｍ＝E×I／Ρ

という式が導かれます。

この式は、Ｍの中に断面二次モーメントとヤング係数が関わっています。つまり、部材の「形状」と「材質」ですね。

でも、σ＝Ｍ／Ｚから明らかなように、曲げ応力度は、「曲げモーメントを断面係数で除した値」ですから、部材の「材質」による影響は一切ありません。

部材に作用する応力を「部材の形状に関わる係数」で割ることで得られます。σ（曲げ応力度）は、部材の材質に関わらず求められます。

σ＝Ｍ/Ｚの誘導で部材の「材質」と「形状」が関わる式を使っておきながら、結果として「形状」だけが関係してくる式を導くことが出来たのは不思議ですね。

また、鋼の短期許容応力度ft＝235はσ＝Ｅεという関係から求められます。これは、部材の「材質」と「形状の変化」から応力を求めるフックの法則ですが、σ＝Ｍ／Ｚは「形状」しか関わってきません。それにもかかわらず、得られた曲げ応力度と許容応力度を比較しているのも不思議です。

断面係数の公式の誘導②

断面係数の公式は、断面二次モーメントから展開する方法と、もう１つ別の展開があります。これは、部材断面に作用している曲げ応力度の釣り合い式から求める方法です。

まず、矩形断面に曲げ応力が作用している状態を考えます。

この時、矩形断面ならば中立軸は部材高さの半分です。例えば、高さをｈとするならば（上図の一番上の断面を見てください。）ｈ／２ですね。この中立軸を境に、応力は圧縮・引っ張りに分かれていることを、曲げ応力度の導出でも勉強しました。

曲げ応力は、それぞれ三角形分布のように部材断面に作用しています。少し理解し難いかもしれませんが、圧縮・引張それぞれの曲げ応力を三角形型の分布荷重と考えるなら、三角形の重心位置に集中荷重が作用していると考えることができます。

この時、集中荷重とは三角形の面積×σ（ここでは仮定した値）なので、

• （ｂ×ｈ／２×σ）／2

です。

この応力度を集中荷重に変換した値は、三角形の重心位置に作用しています。また、圧縮・引張りと逆方向に作用している力なので、これは中立軸を基点とした偶力と言えます。つまり、圧縮・引張りそれぞれの重心位置間距離×集中荷重＝偶力ですから、

• （ｂ×ｈ／２×σ）／2×2ｈ／3＝Ｍ

です。σ＝Ｍ/Ｚという関係式を思い出します。すると、式を整理して

• Ｚ＝ｂｈ²／6

が導けました。

断面係数の実務での使い方

構造設計の実務では、断面係数を暗算で求める場面が多々あります。そのとき使う公式が、

Ｚ＝bh²／6

です。使用例をいくつか紹介します。

ベースプレートのＺを求める

ベースプレートは柱脚を構成する部材の１つです。下図をみてください。これは露出柱脚というごく一般的な柱脚の形状です。

柱脚のアンカーボルトに引張力が作用すると、ベースプレートに曲げモーメントが発生します。この曲げモーメントは、当然ベースプレートで耐える必要があります。つまり、

σ＝Ｍ／Ｚ

を計算して、許容曲げ応力度以下に納まっていればＯＫです。ベースプレートの断面係数は、下式で計算します。

Ｚ＝bt²／6

bは、上図で示す「有効幅」、tはベースプレートの厚みです。

鉄骨階段の蹴上と段板のＺを求める

鉄骨階段はササラ、段板、蹴上で構成されます（蹴上が無い鉄骨階段もあります）。蹴上と段板のある段部は、下図の形状です。

階段は荷重が作用すると曲げモーメントが発生します。この応力は段部で負担しますが、下図の形状の断面係数を考えます。

悩みそうな形状ですが実は簡単です。なぜならx軸回り（曲げモーメントが発生する軸回り）の断面係数は、下図と同じだからです。

あるいはＨ形鋼の形状とも同じですね。矩形断面ではないので単純にbh2／6で計算するよりも、断面二次モーメントＩを算定し、yoで除して求める方が簡単です。

上図のような中立軸から離れた位置に部材があるときの、断面二次モーメントの求め方は下記の記事が参考になります。

断面二次モーメントとは何か？

断面係数を整理した表を示します。

項目	内容	備考
断面係数（Z）	断面の曲げに対する強さを表す値	Z＝I/y で算定
用途	曲げ応力度の算定（σ＝M/Z）	断面二次モーメントはたわみ算定に使用
長方形断面	Z＝bD2/6	実務で最もよく使われる公式

まとめ

断面係数とは曲げモーメントに抵抗する値だと覚えてください。また、断面係数はとても重要な値ですが、大本のσ＝Ｍｙ／Ｉが最も重要ですので、まずはここの誘導からできるようになりましょう。※下記の記事が参考になります。

梁の曲げ応力度と誘導方法

断面係数を理解した後は、塑性断面係数と全塑性モーメントに進みましょう。塑性設計に必要な基礎知識です。

塑性断面係数と全塑性モーメント

手前味噌ですが、当HPを１冊の本にしたこちらも参考になります。

わかる構造力学―「数式」や「用語」の意味を「源流」から完全理解! (I・O BOOKS)

【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒　建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット

▼スポンサーリンク▼

更新情報

• 当サイトでは、ほぼ毎日、記事更新・追加を行っております。


• 更新情報として、先月分の新着記事を一覧表示しております。下記をご確認ください。


• 新着記事一覧

プロフィール

• 
• 略歴▼
• 名前　ハナダユキヒロ/MITUME lab代表.
• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


• 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。


• 当サイトの目的▼
• 建築学生が学ぶ「構造力学」の目的


• とりあえず10記事▼
• 初めましての方に10記事用意しました


• おすすめ書籍紹介▼
• ハナダユキヒロが建築関連書籍の良書を選びました

建築の本、紹介します。▼

同じカテゴリの記事一覧

• 断面係数の公式は？1分でわかる求め方、断面二次モーメントとの違い
• 断面係数の単位は？1分でわかる単位、読み方、mmとの関係、断面二次モーメントの単位との違い
• 断面係数を大きくするには？3分でわかる方法、断面係数の大きな形状、断面二次モーメントとの関係
• 断面係数と断面方向の関係は？1分でわかる考え方、求め方、xyの違いは？
• 断面係数と応力の関係は？1分でわかる意味、単位、モーメントとの関係
• 正方形の断面係数は？1分でわかる求め方、中空断面、正方形の断面二次モーメントは？
• 長方形の断面係数は？1分でわかる求め方、長方形の向き、断面二次モーメントとの関係
• 円の断面係数の求め方は？1分でわかる公式、導出方法と計算例