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断面係数とは

断面係数とは何でしょうか?『断面』+『係数』という言葉ですから、これは断面に関係することだなと、なんとなく分かります。 実は、こうやって言葉の意味を考えるのは重要です。理系の専門用語1つ決めるために、何十人の偉い先生たちが色々議論をしています。 ですから断面係数という呪文のような言葉も、意味があります。

 

断面係数とは『部材の断面性能を表す値』です。曲げる力(曲げモーメント)に対する強さ・抵抗力と言えます。 今回は、そんな断面係数の意味や断面係数の公式、公式の導出方法について分かりやすく説明していきますね。


ちなみに、下記の項目を理解しておけば、今回の説明がより理解できるはずです。あわせて参考にしてください。

断面係数の意味

断面係数は『断面二次モーメント』という係数と密接な関係があります。 なぜなら、断面係数は断面二次モーメントから求めた式だからです。 つまり断面係数≒断面二次モーメントと言えるくらい似ています。両者とも曲げモーメントにどれだけ抵抗できるか?を意味しています。※断面二次モーメントについては下記の記事が参考になります。

断面二次モーメントとは何か?


一方で断面係数と断面二次モーメントは、構造力学(構造計算)で全く違う使い方をします。断面係数は『応力度算定』、断面二次モーメントは 『たわみの算定』に用いられます。では、実際に断面係数の公式をみていきましょう。

断面係数の公式

まずは構造力学で良く用いる断面係数の公式を紹介します。この後、公式の導出を2つの方法について説明を行いますね。

断面係数の公式


こんな図形も考えられますね。

断面係数の公式2


断面係数 矩形断面公式の導出 一般的な方法

前述したように、断面係数Zとは簡単に言えば、「曲げモーメントにどれだけ抵抗できるか?」示す値です。この断面係数の大本の式は、当サイトの曲げ応力度の誘導で示しています。下式をみてください。

    σ=M×y/I

このとき、曲げ応力度の縁応力度は下図に示すように引張側、圧縮側にそれぞれ

  • σ1=M×y1/I
  • σ2=M×y2/I

となりました。

縁応力度

上式を少し簡略化して、σ=M/Zとしたとき、「Z」を断面係数といいます。つまりZは、


    Z=I/y

です。


  • σ=M/Z

という式を導きました。この式を見て明らかなように、断面係数Zが大きければ、曲げ応力度σが小さくなります。また、梁せい(梁の高さ)が大きいほど断面二次モーメントも大きくなります。同様に、断面係数も大きくなるのです。


さて、四角形断面を考えると断面二次モーメントI=bh3/12ですから、断面係数Zは

  • Z=I/y=( bh3/12)/h/2=bh2/6

となります。


σ=M/Zを変形して、

    M=σZ

です。

σは曲げ応力度ですが、例えば、鋼(スチール)の長期許容曲げ応力度fb=156です。短期許容応力度fb=235です。(本来、許容曲げ応力度は横座屈の低減がありますが、ここでは割愛することにします。)

つまり

    M=σ×Z=fb×Z

という式に置き換えることもできます。Maは許容曲げ応力度です。実務では、部材の応力を求めた時点でざっくりMaを上式で計算し、作用応力と見合う部材かどうか確認します。

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断面係数の不思議(読み飛ばしてもOK)

ところで、一番上の曲げ応力度の式を求める段階で

  • M=E×I/Ρ

という式が導かれます。


この式は、Mの中に断面二次モーメントとヤング係数が関わっています。つまり、部材の「形状」と「材質」ですね。

でも、σ=M/Zから明らかなように、曲げ応力度は、「曲げモーメントを断面係数で除した値」ですから、部材の「材質」による影響は一切ありません。


部材に作用する応力を「部材の形状に関わる係数」で割ることで得られます。σ(曲げ応力度)は、部材の材質に関わらず求められます。


σ=M/Zの誘導で部材の「材質」と「形状」が関わる式を使っておきながら、結果として「形状」だけが関係してくる式を導くことが出来たのは不思議ですね。


また、鋼の短期許容応力度ft=235はσ=Eεという関係から求められます。これは、部材の「材質」と「形状の変化」から応力を求めるフックの法則ですが、σ=M/Zは「形状」しか関わってきません。それにもかかわらず、得られた曲げ応力度と許容応力度を比較しているのも不思議です。

断面係数 矩形断面公式の導出 もう一つの方法

断面係数の公式は、断面二次モーメントから展開する方法と、もう1つ別の展開があります。これは、部材断面に作用している曲げ応力度の釣り合い式から求める方法です。


まず、矩形断面に曲げ応力が作用している状態を考えます。

断面係数を求める


この時、矩形断面ならば中立軸は部材高さの半分です。例えば、高さをhとするならば(上図の一番上の断面を見てください。)h/2ですね。この中立軸を境に、応力は圧縮・引っ張りに分かれていることを、曲げ応力度の導出でも勉強しました。


曲げ応力は、それぞれ三角形分布のように部材断面に作用しています。少し理解し難いかもしれませんが、圧縮・引張それぞれの曲げ応力を三角形型の分布荷重と考えるなら、三角形の重心位置に集中荷重が作用していると考えることができます。


この時、集中荷重とは三角形の面積×σ(ここでは仮定した値)なので、

  • (b×h/2×σ)/2

です。


この応力度を集中荷重に変換した値は、三角形の重心位置に作用しています。また、圧縮・引張りと逆方向に作用している力なので、これは中立軸を基点とした偶力と言えます。つまり、圧縮・引張りそれぞれの重心位置間距離×集中荷重=偶力ですから、

  • (b×h/2×σ)/2×2h/3=M

です。σ=M/Zという関係式を思い出します。すると、式を整理して

  • Z=bh2/6

が導けました。


実務で使う断面係数

構造設計の実務では、断面係数を暗算で求める場面が多々あります。そのとき使う公式が、

    Z=bh2/6

です。使用例をいくつか紹介します。

ベースプレートのZを求める

ベースプレートは柱脚を構成する部材の1つです。下図をみてください。これは露出柱脚というごく一般的な柱脚の形状です。

ベースプレートの断面係数

柱脚のアンカーボルトに引張力が作用すると、ベースプレートに曲げモーメントが発生します。この曲げモーメントは、当然ベースプレートで耐える必要があります。つまり、

    σ=M/Z

を計算して、許容曲げ応力度以下に納まっていればOKです。ベースプレートの断面係数は、下式で計算します。

    Z=bt2/6

bは、上図で示す「有効幅」、tはベースプレートの厚みです。

鉄骨階段の蹴上と段板のZを求める

鉄骨階段はササラ、段板、蹴上で構成されます(蹴上が無い鉄骨階段もあります)。蹴上と段板のある段部は、下図の形状です。

鉄骨階段

階段は荷重が作用すると曲げモーメントが発生します。この応力は段部で負担しますが、下図の形状の断面係数を考えます。

鉄骨階段の断面係数

悩みそうな形状ですが実は簡単です。なぜならx軸回り(曲げモーメントが発生する軸回り)の断面係数は、下図と同じだからです。

チャンネル鋼材の断面係数

あるいはH形鋼の形状とも同じですね。矩形断面ではないので単純にbh2/6で計算するよりも、断面二次モーメントIを算定し、yoで除して求める方が簡単です。

上図のような中立軸から離れた位置に部材があるときの、断面二次モーメントの求め方は下記の記事が参考になります。

断面二次モーメントとは何か?

まとめ

断面係数とは曲げモーメントに抵抗する値だと覚えてください。また、断面係数はとても重要な値ですが、大本のσ=My/Iが最も重要ですので、まずはここの誘導からできるようになりましょう。※下記の記事が参考になります。

梁の曲げ応力度と誘導方法


断面係数を理解した後は、塑性断面係数と全塑性モーメントに進みましょう。塑性設計に必要な基礎知識です。

塑性断面係数と全塑性モーメント


手前味噌ですが、当HPを1冊の本にしたこちらも参考になります。

わかる構造力学―「数式」や「用語」の意味を「源流」から完全理解! (I・O BOOKS)

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