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片持ち梁に等分布荷重と集中荷重が作用する場合の例題
この記事の要点
片持ち梁に等分布荷重と集中荷重が同時に作用するとき、各荷重による曲げモーメントを別々に求めて重ね合わせると最大曲げモーメントが求まる。
Ｈ26年問題では固定端での曲げモーメントが最大になる。等分布荷重：wL2/2、集中荷重：PL の公式を組み合わせる。
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片持ち梁の種類の１つとして、一見単純梁に見えるのですが、先端部が片持ち梁となる梁構造があります。
下図の梁では、等分布荷重と集中荷重が作用しています。このときA点における曲げモーメントを求める例題を考えます。
梁に等分布荷重と集中荷重が同時に作用する場合でも、反力や応力の算定は難しく考える必要は無く、力のつり合いに従って問題を解くだけです。
さて、A点の曲げ応力を求めたいので、まずは反力を計算します。このとき左側支点を起点にして応力を求める場合、
等分布荷重よりも集中荷重の計算の方が簡単です。よって右側支点の反力を求めます。
曲げモーメントのつり合い式は下記のように、
です。これを解いて、
となります。反力が算定できれば、あとはA点の断面に生じる曲げモーメントと支点反力、外力によるモーメントの力のつり合いを考えて
です。以上より、２番の曲げモーメントが正答です。
なお、本例題のように単純梁の先端がはね出す梁の場合、先端に作用する集中荷重による反力は下図の方向に作用します。
左側支点が無ければ梁は下図の赤線のように動くように、左側支点には引き抜き方向の反力が生じます。
等分布荷重による反力の向きは下図の通りです。重ね合わせの原理を用いて、等分布荷重作用時と集中荷重作用時で分けて反力、応力を求めて足し合わせても同様の結果が得られます。
片持ち梁の曲げモーメントを求める例題、3分でわかる解き方の流れ
混同しやすい用語
片持ち梁の最大曲げモーメント（固定端）
片持ち梁では固定端（壁に刺さった側）で曲げモーメントが最大になる。集中荷重PのときM=PL、等分布荷重wのときM=wL2/2。
単純梁の最大曲げモーメント（中央）
単純梁では梁中央（または荷重点）で曲げモーメントが最大になる。集中荷重PのときM=PL/4、等分布荷重wのときM=wL2/8。片持ち梁と混同しやすい。
等分布荷重（ｗ）
梁の全長にわたって均等に分布した荷重。単位はkN/m。合力はw×Lで梁の中央に作用するとみなす。
集中荷重（Ｐ）
1点に集中して作用する荷重。単位はkN。曲げモーメントの計算では荷重点から支点までの距離をスパンとして用いる。
片持ち梁に等分布荷重と集中荷重が作用する計算例
| 条件 | 値 |
|---|---|
| 片持ち梁スパンL | 3 m |
| 等分布荷重w | 4 kN/m |
| 先端集中荷重P | 6 kN |
重ね合わせの原理より、固定端の最大Mは各荷重によるMを別々に計算して合算する。
等分布荷重によるM = wL2/2 = 4×32/2 = 18 kN・m
集中荷重によるM = PL = 6×3 = 18 kN・m
Mmax = 18 + 18 = 36 kN・m（固定端）
答え：固定端の最大曲げモーメント Mmax = 36 kN・m
片持ち梁の荷重別公式の比較表
| 荷重種別 | 最大M（固定端） | 最大たわみ（先端） |
|---|---|---|
| 先端集中荷重P | PL | PL3/(3EI) |
| 等分布荷重w | wL2/2 | wL?/(8EI) |
| 複合荷重 | PL + wL2/2（重ね合わせ） | 各たわみの和 |
よくある誤解
- ×「片持ち梁の最大Mは梁の中央部に生じる」→○片持ち梁の最大Mは固定端（壁際）に生じる。単純梁では中央付近が最大なので混同しないこと
- ×「等分布荷重のMは全荷重×スパンで計算する」→○等分布荷重の合力wLはスパン中央L/2の位置に作用するので、固定端M=wL×L/2=wL2/2 となる
- ×「複数荷重が同時作用すると重ね合わせは使えない」→○線形弾性範囲内では重ね合わせの原理が成立し、各荷重によるMを個別計算して合算できる
一問一答
Q. 先端集中荷重PがかかるスパンLの片持ち梁の固定端モーメントはいくらか？
A. M＝PL。単純梁の中央集中荷重のM＝PL/4と混同しないこと。
Q. 片持ち梁に等分布荷重wと先端集中荷重Pが同時作用する場合の最大Mは？
A. 重ね合わせより Mmax＝wL2/2＋PL（固定端）。
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- 名前 ハナダユキヒロ/MITUME lab代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
- 「わかる構造力学(改訂版)」
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