片持ち梁の曲げモーメントを求める例題｜集中荷重・等分布荷重の解き方を解説
この記事の要点
片持ち梁の問題は構造力学の試験でよく出るが、固定端に最大モーメントが発生するという原則を忘れると符号を間違えやすい。
荷重条件別に手順を整理しておくと確実に解けるようになる。
この記事では片持ち梁の曲げモーメントを求める例題の解き方を集中荷重・等分布荷重のパターン別に解説する。
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片持ち梁の曲げモーメントは「集中荷重×外力の作用点から支点までの距離」で算定できます。
等分布荷重や三角形分布荷重などが作用する場合は、「集中荷重に変換」すれば同様の方法で算定可能です。
よって、先端に集中荷重の作用する片持ち梁の曲げモーメントMは「M＝PL」です。
Pは集中荷重、Lは距離です。
今回は、片持ち梁の曲げモーメントを求める例題を解説し、基本的な問題の解き方の流れを示します。片持ち梁の応力、曲げモーメント図など下記もご覧ください。
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片持ち梁の曲げモーメントを求める例題
例題として、下図に示す片持ち梁の最大曲げモーメントを求めてください。
集中荷重が２カ所に作用しています。「公式が無い！」とあわてないでください。片持ち梁に作用する曲げモーメントは「外力×距離」でした。
２か所の荷重が作用する場合でも考え方は同じです。ただし、２つの集中荷重それぞれの曲げモーメントを求める必要があります。その後、曲げモーメントを合計すれば良いのです。
下記に計算式を示します。
上記のように、最大曲げモーメント＝5PL/2です。
２問目です。下図の片持ち梁の最大曲げモーメントを求めましょう。
部分的に等分布荷重が作用しています。まずは分布荷重を「集中荷重に変換」しましょう。「分布荷重×分布荷重の作用する範囲」を計算すれば良いです。
ｗ×Ｂ＝ｗＢが集中荷重です。なお、等分布荷重を集中荷重に変換するとき「集中荷重の作用点は、分布荷重の作用幅の中心」になります。
よって片持ち梁の曲げモーメントは下記の通りです。
片持ち梁の詳細など下記も参考になります。
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片持ち梁の曲げモーメントの解き方の流れ
片持ち梁の曲げモーメントの解き方の流れを下記に整理しました。
① 荷重の作用する点から支点までの距離を求める
② 分布荷重（等分布荷重、部分荷重、三角形分布荷重）は、集中荷重に変換する（集中荷重はそのまま）
③ ①の値×②の値を計算して曲げモーメントを算定する
片持ち梁の曲げモーメントの求め方は下記も参考になります。
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混同しやすい用語
集中荷重
1点に集中して作用する力（kN）です。
片持ち梁の曲げモーメントはM＝PL（先端集中荷重、Lは距離）で求めます。
等分布荷重
梁に均等に分布して作用する荷重（kN/m）です。
集中荷重に変換（合力＝w×L、作用点は梁の中央）してから曲げモーメントを計算します。
片持ち梁の曲げモーメントを求める例題を整理した表を示します。
| 荷重条件 | 曲げモーメントの公式 | 備考 |
|---|---|---|
| 先端集中荷重P | M＝PL | 固定端で最大 |
| 等分布荷重w | M＝wL2/2 | 集中荷重に変換して計算 |
| 複数の集中荷重 | M＝P₁L₁＋P₂L₂ | 各モーメントを合計する |
まとめ
今回は、片持ち梁の曲げモーメントに関する例題について解説しました。基本は、集中荷重×距離を計算するだけなので簡単です。ただし、分布荷重を集中荷重に変換する方法なども理解しましょう。下記も参考になります。
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理解度チェック
片持ち梁の曲げモーメントを求める基本手順を答えてください。
答えを見る
①荷重の作用点から支点までの距離を求める ②分布荷重（等分布・部分・三角形）は集中荷重に変換する（集中荷重はそのまま）③（距離）×（荷重）を計算して曲げモーメントを算定する、の3段階です。固定端で最大になります。
集中荷重が2か所に作用する片持ち梁の最大曲げモーメントはどう求めますか。
答えを見る
それぞれの集中荷重について「外力×距離」で曲げモーメントを計算し、合計します。M＝P₁L₁＋P₂L₂です。記事の例題では最大曲げモーメント＝5PL/2となりました。公式がなくても「外力×距離」の考え方で解けます。
部分的に等分布荷重が作用する片持ち梁の曲げモーメントはどう求めますか。
答えを見る
等分布荷重を集中荷重に変換します。合力＝w×B（Bは作用範囲）で、作用点は分布荷重の作用幅の中心です。この集中荷重wBと支点までの距離を掛けて曲げモーメントを求めます。
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プロフィール
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- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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