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キルヒホッフの仮説とは何か？

この記事の要点

キルヒホッフの仮説は平板理論の基礎となる仮定であり、「板の中央面はたわみ後もひずみが0（中央面不変の仮定）」「xz・yz平面のせん断変形が0・z方向のひずみが0（法線不変の仮定）」という2つの仮定から成る。

これらの仮定により平板の応力度はたわみwの関数として3成分（σx, σy, τxy）のみに単純化され、板の曲げ問題をたわみ関数wの微分方程式として定式化できるようになる。

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板の理論を考える前に、｢キルヒホッフの仮説｣と呼ばれる仮定を考えましょう。


初めは、下図に示すような鉛直力が作用している平板について学習します。まず、キルヒホッフの仮説は以下のように、


仮定１：板がたわんだ後も板の中央面のひずみは0です（中央面存在の仮定）。

よって、この仮定は板の中央面（z=0）にある点はx-y面では変位が生じないことを意味しています。したがって、次式を仮定すると

仮定２：次に、この仮説は式に示した通りxz平面及びyz平面でせん断変形が起きないということ、z軸方向の歪が生じないという意味もっています。


つまり、この式からそれぞれの軸と法線がなす角度は必ず垂直であることを意味し、法線は伸縮などの変形はしないということも意味しています。

です。また、z軸のひずみが0ということは、

ですから、つまりwの式は

です。wをzで偏微分して0ということは、当然、wにはzの関数が含まれていないことを意味します。

仮定３：さらに、三番目としてz軸に関する平板の直応力は生じないという仮説を設けます。


σz=0

を仮説として考えます。

さて、以上の仮説は、よく考えると理論的に矛盾していますよね。例えば仮説2と3を応力とひずみの関係に適用すると、

となり、あきらかに

とは、ならないはずです。また、仮説2でせん断変形は0と考えているので、

となるはずですが、鉛直力が作用しているならば、せん断力は発生しますよね。


この仮説を適用することで、問題が簡単となります。


キルヒホッフの仮説は精密解ではないため、仮説同士で理論の矛盾が発生することがありますが、


私たちが対象とする板に関しては、良い対応を示すということで、そのまま利用されています。



さて、矛盾する仮説2と3がありますが、建築分野では主に、床や壁等の厚さが薄い平板を対象とするので、仮説3を適用します。（平面応力状態と呼ばれていますね。）


まずは、平板に作用する応力について求めましょうか。さて、弾性力学で勉強した応力とひずみの関係式に適用し、z軸方向のひずみを求めます。

となりますね。上式は平板に発生するz軸方向のひずみなので、これを応力とひずみの関係式に代入します。

が得られます。同様の過程により、y方向の応力は、

です。しかし、このままの式では、平板に関する応力を正しく表していません。そうです。ひずみを求める必要がありますね。さて、仮説2においてせん断変形は0でした。よって、

さらに、変位uを求めます。そのためには、積分する必要がありますね。

さらに、仮説2からwはzの関数ではないので、定数として扱います。よって、

となります。また、

ということは、仮説1よりz=0のとき

ですから、

となります。また同様に変位vは、

です。ここで、x,y方向の歪およびせん断ひずみを求めましょう。ひずみテンソルの式から、

ですね。さて、先ほど求めたu,vを代入して、平板のひずみを求めると

です。ここで、歪テンソルと工学ひずみの関係を思い出してください。

ですから、工学ひずみで纏めると

です。ここで得られたひずみを、平板の応力とひずみの関係に代入しましょう。

が得られます。

以上のように、キルヒホッフの仮説を適用した平板には３つの応力度のみが作用し、全てwの関数で表されます。


混同しやすい用語

仮定１（中央面不変）vs 仮定２（法線不変）

仮定１は板の中央面（z=0）のひずみが0であること。仮定２はxz・yz平面のせん断変形が0でありz軸方向のひずみも0であること。仮定２から法線（板厚方向の直線）は変形後も曲面に垂直なままである。

平板 vs 梁

梁は1次元の部材で力が1方向に作用する。平板（板）は2次元の面状部材でx・y両方向に曲げモーメントが作用する。キルヒホッフの仮説は梁のオイラー-ベルヌーイ仮説（平面保持の仮定）を2次元に拡張したものとみなせる。

曲げ応力度 vs せん断応力度（平板）

キルヒホッフの仮説下では平板のz軸方向のせん断応力（τxz, τyz）は板の釣り合いから求められる。板の中央面では曲げ応力が0でせん断応力が最大。上下面では曲げ応力が最大でせん断応力が0。

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