曲げモーメント

この記事の要点

平板の曲げモーメントは単位幅あたりのモーメントとして定義され、キルヒホッフの仮説から導かれる3つの応力度（σx, σy, τxy）を板厚方向に積分することで曲げモーメントMx・My・ねじりモーメントMxyが求まる。

曲げ剛性D=Eh3/[12(1-ν2)]（E：ヤング係数、h：板厚、ν：ポアソン比）は板の曲げに対する抵抗性を表し、たわみwの2階偏微分と組み合わせて各モーメント成分が表現される。

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さて、キルヒホッフの仮説により平板に鉛直力が作用した場合には、3つの応力度が発生することがわかりました。

その応力度はx,y軸でそれぞれ曲げモーメントとねじりモーメントを生みます。それらを合モーメントと呼びます。

また、合モーメントは単位幅あたりのモーメントと定義するので、合モーメントの単位は「モーメント÷長さ」

で示され、これは力の単位と同様のものです。さて、平板の微小要素を取り出して考えると、Mxは

という積分で表すことができます。上式を確認しましょう。

まず、合モーメントとは、誤解を恐れずに言えば、力を求めることと変わりません（もちろん、意味合いは全く異なりますが）。

まず、曲げモーメントMxは図に示すようにσxが作用することで発生します。

また、平板から微小要素を取り出しているので、応力度とz軸の変数である微小長さdzを掛けてσxdzとなります。

さらに本当に対象としたいのは、元の平板ですよね。最終的に積分をして求めたいので、変数で表した平板の厚さzをかけて z (σxdz)と表現したわけです。

あとは、その式を平板の厚さで積分すればいいわけです。さて、式を解くと

となります。また、

とし、これを板の曲げ剛性と呼びます。

と表します。同様に、

です。

ねじりモーメントも同様の計算過程で求めます。

が得られます。また、先ほどD（曲げ剛性）を定義しましたので、これを用いて表現すると、

となります。また、応力の平衡方程式を求めたとき、せん断応力度の共役性を確認しました。よって、ねじりモーメントも、それに従い

です。さて、曲げモーメントから、曲げ応力度とせん断応力度は、それぞれ

となります。

混同しやすい用語

曲げモーメントMx vs ねじりモーメントMxy（平板）

Mxはx軸まわりの曲げモーメントでσxの積分から得られる（板をx方向に曲げる）。Mxyはxy面内のねじりモーメントでτxyの積分から得られる。梁の曲げモーメントとは異なり、平板には2軸の曲げとねじりが同時に存在する。

合モーメント vs 応力度

応力度（σ、τ）は単位面積あたりの力（N/mm2）。合モーメントは板厚方向に応力度を積分して得られる単位幅あたりのモーメント（N・mm/mm = N）。合モーメントの単位は「力」と同次元になる点に注意。

曲げ剛性D vs ヤング係数E

ヤング係数Eは材料の固有定数（Pa）。曲げ剛性D=Eh3/[12(1-ν2)]は板厚hとポアソン比νを含む断面性能との複合量。Dが大きいほど板は曲げに強くなる。板厚が2倍になるとDは8倍になる（h3に比例）。

板の曲げ剛性 D = Eh3/[12(1-ν2)] を使って計算してみましょう。

曲げモーメントを整理した表を示します。

D = 2.06×10? × 103 / [12×(1-0.32)] = 2.06×10? / (12×0.91) = 2.06×10? / 10.92 ≒ 1.89×10? N・mm

板厚が2倍（20mm）になると D は 23 = 8倍（h3に比例）になります。

曲げモーメントを整理した表を示します。