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曲げモーメント

さて、キルヒホッフの仮説により平板に鉛直力が作用した場合には、3つの応力度が発生することがわかりました。その応力度はx,y軸でそれぞれ曲げモーメントとねじりモーメントを生みます。それらを合モーメントと呼びます。

また、合モーメントは単位幅あたりのモーメントと定義するので、合モーメントの単位は 「モーメント÷長さ」

で示され、これは力の単位と同様のものです。さて、平板の微小要素を取り出して考えると、Mxは

という積分で表すことができます。上式を確認しましょう。まず、合モーメントとは、誤解を恐れずに言えば、力を求めることと変わりません(もちろん、意味合いは全く異なりますが)。まず、曲げモーメントMxは図に示すようにσxが作用することで発生します。また、平板から微小要素を取り出しているので、応力度とz軸の変数である微小長さdzを掛けてσxdzとなります。さらに本当に対象としたいのは、元の平板ですよね。最終的に積分をして求めたいので、変数で表した平板の厚さzをかけて z (σxdz)と表現したわけです。あとは、その式を平板の厚さで積分すればいいわけです。さて、式を解くと

となります。また、

とし、これを板の曲げ剛性と呼びます。

と表します。同様に、

です。

ねじりモーメントも同様の計算過程で求めます。




が得られます。また、先ほどD(曲げ剛性)を定義しましたので、これを用いて表現すると、

となります。また、応力の平衡方程式を求めたとき、せん断応力度の共役性を確認しました。よって、ねじりモーメントも、それに従い

です。さて、曲げモーメントから、曲げ応力度とせん断応力度は、それぞれ

となります。


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