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応力テンソル

弾性力学で学習する「応力」は構造力学で習ったものと一味違います。根本的には応力の概念は同じですが、弾性力学ではテンソルで扱うため、少し難解になります。

さて、図のように任意の物体に外力を加え、その内部に発生する内力は釣り合い状態であるとします。 このとき、物体内部の微小な面積要素ΔSを考え、この面の単位法線ベクトルnとします。
応力テンソル
この内力を次の式で表します。
内力の式
以上の式を応力ベクトルといいます。
ここで、Tの頭にnという文字がついて
いますが、これは微小面積の向きすなわち、
法線ベクトルのnの向きに
応力ベクトルが依存するという意味です。
さて、物体に対して直角座標系xjをとるとき応力ベクトルは応力成分で示すことができますね。
よって、
応力ベクトルは応力成分
です。

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また、以下の図のようにx1軸に垂直な面を考えます。すると、初めに説明したように応力は法線ベクトルに依存しますので、
法線ベクトルに依存する
となります。以上のベクトルはx2, x3の場合も同様に考えることができますので、
x2, x3の場合も同様に考える
x2, x3の場合も同様に考える2

です。i=1,2,3ですので
垂直応力
と表すことができます。
以上の式は、座表面に対して垂直な応力を「垂直応力」と言います。
また、
せん断応力
など、座標面に沿って働くような面内に働く力をせん断応力と呼びます。
以上に示した式は数学的な表記方法ですが、私たちが一般的に使用しているのは 工学的な書き方です。
すなわち、構造力学で習ったような垂直応力やせん断応力はそれぞれ、σ22、σ12 または、せん断応力はτxyと書きます。
応力の記号σを用いると、応力テンソルの式は
応力テンソルの式
となります。この式でσijの、iはi軸に対する垂直な面を意味し、jは応力の方向を表しています。つまり、σ12であれば、「x1軸に対する垂直な面に対してx2軸方向の応力」という意味です。

以上が応力と応力テンソルについての説明です。ここまでは、いわゆる定義のお話でしたので、すぐ理解できたと思います。

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