応力テンソルとは？1分でわかる意味、求め方、せん断応力と垂直応力の関係

この記事の要点

応力テンソルは物体内の任意点に作用する応力状態を9成分（3×3行列）で表したものであり、σijの添字iが面の法線方向、jが応力の作用方向を示す。

応力テンソルはモーメントのつり合いから対称性（σij=σji）が成立するため独立成分は6つとなり、工学的に使う垂直応力・せん断応力と対応させて理解することが重要だ。

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応力テンソルとは、応力の成分を9方向に拡張した概念のことです。

これまで方向性を持たない量（スカラー）、量と方向をもつベクトルを勉強しました。

ベクトルにはx,y,zの方向がありますが、テンソルは6つの方向を加えて9方向に拡張します。今回は応力テンソルの意味、求め方、せん断応力と垂直応力の関係について説明します。

テンソル、スカラー、ベクトル、応力の意味は下記が参考になります。

テンソルとは

応力とは？1分でわかる意味と種類、記号、計算法

応力テンソルとは？求め方

応力テンソルとは、応力の成分を9方向に拡張した概念です。構造力学では、基本的に平面の部材について考えました。そのため力の方向（成分）は2方向しかありません。

図　構造力学と応力

しかし実際には、部材は立体のためx,y,zの３方向あります。応力テンソルでは、立方体の各面内に沿った成分（6つの方向）+各面内に対して垂直の成分（3方向）の9方向に拡張した応力を考えます。

図　応力テンソル

テンソルを納得するのは時間がかかるかもしれません。「そういうもの」と考えた方が楽です。あるいは、ベクトルで考慮できる成分（方向）を拡張（増やした）した概念と考えても大きく外してないでしょう。

テンソルの詳細、計算方法は下記が参考になります。

テンソルとは

また応力の詳細は下記をご覧ください。

応力とは？1分でわかる意味と種類、記号、計算法

任意の物体に外力を加えました。内部に生じる内力は外力と釣り合い状態にあります。

応力テンソル

このとき、物体内部の微小な面積要素ΔSを考え、この面の単位法線ベクトルnとします。

この内力を次の式で表します。

内力の式

上式を応力ベクトルといいます。ここで、Tの頭にnという文字がついていますが、これは微小面積の向きすなわち、法線ベクトルのnの向きに応力ベクトルが依存するという意味です。

さて、物体に対して直角座標系xjをとるとき応力ベクトルは応力成分で示すことができます。よって

です。

また下図のようにx1軸に垂直な面を考えます。

x2, x3の場合も同様に考える

初めに説明したように応力は法線ベクトルに依存しますので、

となります。以上のベクトルはx2, x3の場合も同様に考えることができますので、

x2, x3の場合も同様に考える２

です。i=1,2,3ですので

と表すことができます。上記のTjを応力テンソルといいます。前述したように、応力テンソルは9つの方向を持ちます。

応力の記号σを用いると、応力テンソルの式は

となります。この式でσijの、iはi軸に対する垂直な面を意味し、jは応力の方向を表しています。つまり、σ12であれば、｢x1軸に対する垂直な面に対してx2軸方向の応力｣という意味です。

応力テンソルとせん断応力、垂直応力の関係

上式で座表面に対して垂直な応力を｢垂直応力｣と言います。また、

など、座標面に沿って働くような面内に働く力をせん断応力と呼びます。

以上に示した式は数学的な表記方法ですが、私たちが一般的に使用しているのは工学的な書き方です。

構造力学で習ったような垂直応力やせん断応力はそれぞれ、σ22、σ12または、せん断応力はτxyと書きます。

混同しやすい用語

垂直応力 vs せん断応力

垂直応力σijはi=j（同一添字）の成分であり、面の法線方向に引張・圧縮として作用する。

せん断応力τij（σijのi≠j成分）に対して垂直応力は面に平行な方向ではなく面に垂直な方向に作用する点が異なる。

応力テンソル（数学的表記） vs 工学的応力（σ、τ表記）

応力テンソルσijは添字の規則に従った数学的な表記であり、座標変換や弾性力学の式展開に適している。

工学的応力表記（σx、σy、τxy）に対して応力テンソル表記はσ11=σx、σ12=τxyのように対応し、構造力学との橋渡しとなる。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では応力テンソルの数学的定義よりも垂直応力とせん断応力の関係、主応力の求め方が問われることが多いため、工学的表記との対応を押さえておこう。

応力テンソルの対称性（τxy=τyx）は試験でも確認されることがあるため、モーメントのつり合いから導かれるこの性質を証明できるよう理解を深めておくとよい。

応力テンソルを整理した表を示します。

項目	内容	備考
応力テンソルの成分数	3×3＝9成分（σ11〜σ33）	対角成分が垂直応力、非対角成分がせん断応力
対称性	σij＝σji（モーメントのつり合いから導出）	独立成分は9→6に減少
工学的表記との対応	σ11＝σx、σ12＝τxy	構造力学の応力記号と有限要素法の橋渡しとなる