曲面の方程式

この記事の要点

平板のたわみ曲面の方程式は、キルヒホッフの仮説と平板のつり合い条件から導かれる4階偏微分方程式（双調和方程式）であり、ポアソン比を含む曲げ剛性Dを通じてたわみwと外力の関係を表す。

この方程式はさまざまな境界条件のもとで解くことで、板のたわみ・曲げモーメント・応力分布が求まる。ポアソン比の扱いと曲げ剛性Dの定義を正確に把握することが理解の鍵となる。

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さて、「平板のつり合い」で力のつり合いを求めました。

さらに、Qx,Qyも求めているので、代入すると、

ここで、平板は微小変形のものを対象としていますので、ポアソン比を

とすれば、

となります。この式がキルヒホッフの仮説に基づく平板の方程式です。これを、平板のたわみ曲面の方程式と呼びます。

混同しやすい用語

たわみ曲面の方程式 vs ラプラス方程式

平板のたわみ曲面の方程式はD∇4w=p（双調和方程式・biharmonic equation）。

ラプラス方程式は∇2φ=0。

双調和方程式はラプラス演算子を2回作用させたもの（∇2(∇2w)=p/D）で、次数と意味が異なる。

ポアソン比（ν）とたわみ曲面の方程式

微小変形の平板を対象とするとき、ポアソン比νをある値に設定することで方程式が簡略化される。

ポアソン比は横ひずみ/縦ひずみの比であり、等方性材料では0〜0.5の範囲にある。

コンクリートは約0.2、金属は約0.3。

曲げ剛性D vs 断面二次モーメントI

梁の曲げ剛性はEI（ヤング係数×断面二次モーメント）。

平板の曲げ剛性はD=Eh3/[12(1-ν2)]（板厚hとポアソン比νを含む）。

平板ではポアソン効果により分母に(1-ν2)が入るためDとEIは直接一致しない。

この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。

2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。

著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。