平板理論の釣り合い方程式｜微小要素から導く曲げモーメントとせん断力

この記事の要点

板構造（スラブ・壁板）の設計でFEM解析を使うとき、背景にある平板理論を知っていると解析結果の解釈が正確になる。平板は梁と違い、二方向に曲げモーメントが生じるため単純なはりの式では対応できない。

微小要素に作用する応力合力のつりあいから平板の支配方程式（ビハーモニック方程式）が導かれる。理論の流れを一度追っておくと、FEMの板要素の挙動への理解が深まる。

内力（曲げモーメントMx・My・ねじりモーメントMxy・せん断力Qx・Qy）はすべて単位幅あたりの値で定義され、隣接面での微増分を考慮してつり合い式を立てることが定式化の基本的な手順となる。

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曲げモーメントを求めたときと同様に、平板の微小要素を取り出して、力のつり合いを考えてみましょう。

板には、鉛直力pが作用し、これに抵抗する内力として曲げモーメントやねじりモーメント、せん断力が作用しています。

以上の内力はすべて単位幅あたりの値としましょう。

図に示すように、板はつり合い状態にあるわけですから、ある面に曲げモーメントが作用していれば、その反対側にも曲げモーメントが生じているわけです。

さらに、赤点を基準とするならば、そこからdxだけ若しくはdyだけ離れた面での曲げモーメント及びせん断力は、その分、微増しますよね。

さて、せん断力についてですが、キルヒホッフの仮説では、

でした。しかし、その合力は無視できないものとして計算しましょう。z方向の力のつり合いを考えます。

せん断力Qや曲げモーメントMは合力ですし、これは単位幅あたりの値ですので、力に直す必要があります。

例えば、せん断力Qxであれば、基準とした赤点からdyまで作用しているので、力に変換するにはdyを掛けなければいけません。

また、外力pは単位面積あたりの力です。以上のように、z方向の力のつり合いを求めると、

次に、板の中心を通りx軸に平行な軸周りのモーメントのつり合いを考えましょう。

となりますね。

は微小長さdy×dyが掛けられているので、他の値と比べると小さく、無視しても良いとします。

すると、

同様に計算しましょう。一応、丁寧に同じ過程を繰り返します。

次に、板の中心を通りx軸に平行な軸周りのモーメントのつり合いを考えましょう。

となりますね。

は微小長さdx×dxが掛けられているので、他の値と比べると値が小さく、無視しても良いとします。

よって、

以上、モーメントのつり合いから式を纏めると

です。さらに、平板の曲げモーメントは次式のように、既に求めました。

以上、代入すると、

が得られます。さらに、平板は微小変形のものを対象としていますので、ポアソン比を

とすれば、

です。また、同様にQyは、

となります。

混同しやすい用語

単位幅あたりのモーメント vs 全体モーメント

平板の力のつり合いでは内力（曲げモーメント・せん断力）を単位幅あたりの値で定義する。

これは板を1mm（または1m）の幅で切り出したときの内力。

全体のモーメントを求めるにはスパン長を掛ける必要がある。

せん断力Qx・Qy vs 曲げモーメントMx・My（平板のつり合い）

平板のつり合い式ではQx, Qyはz方向のせん断力（板を貫く）。

Mx, Myは曲げモーメント。

MxyはねじりモーメントMyx。

これらがつり合い式∂Qx/∂x + ∂Qy/∂y + p = 0 および各モーメントのつり合い式を満たす。

微増分の考え方（dxだけ離れた面でのMの変化）

微小要素のx方向の面にモーメントMxが作用するとき、x+dxの面では (Mx + ∂Mx/∂x ・ dx) となる。

この微増分を用いてつり合い式を立てることがすべての連続体力学の基本手順。

せん断力も同様に微増分を考える。

平板のつり合い計算例

内力	定義（単位幅あたり）	力への変換
せん断力Qx	x方向のz向きせん断 [N/m]	×dy → 力[N]
せん断力Qy	y方向のz向きせん断 [N/m]	×dx → 力[N]
曲げモーメントMx	x軸周りの曲げ [N]	×dy → モーメント[N・m]

z方向の力のつり合いを考える。

微小要素dxdyに対してQxの変化分は (∂Qx/∂x)dxdy、Qyの変化分は (∂Qy/∂y)dxdy、外力はpdxdy。

三者のつり合いより：

∂Qx/∂x + ∂Qy/∂y + p = 0

モーメントのつり合いからQx = -∂/∂x(D∇2w)、Qy = -∂/∂y(D∇2w) が得られ（D：曲げ剛性）、代入すると平板の支配方程式 D∇4w = p が導かれる。

答え：z方向つり合い ∂Qx/∂x + ∂Qy/∂y + p = 0、最終的に D∇4w = p

平板の内力の比較表

内力	方向	微小要素での変化
Qx	x面のz方向せん断	x+dxの面で Qx + (∂Qx/∂x)dx となる
Qy	y面のz方向せん断	y+dyの面で Qy + (∂Qy/∂y)dy となる
Mx	x軸周りの曲げ	x+dxの面で Mx + (∂Mx/∂x)dx となる
My	y軸周りの曲げ	y+dyの面で My + (∂My/∂y)dy となる