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平板の理論の釣り合い

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曲げモーメントを求めたときと同様に、平板の微小要素を取り出して、力のつり合いを考えてみましょう。板には、鉛直力pが作用し、これに抵抗する内力として曲げモーメントやねじりモーメント、せん断力が作用しています。以上の内力はすべて単位幅あたりの値としましょう。


図に示すように、板はつり合い状態にあるわけですから、ある面に曲げモーメントが作用していれば、その反対側にも曲げモーメントが生じているわけです。さらに、赤点を基準とするならば、そこからdxだけ若しくはdyだけ離れた面での曲げモーメント及びせん断力は、その分、微増しますよね。


さて、せん断力についてですが、キルヒホッフの仮説では、

でした。しかし、その合力は無視できないものとして計算しましょう。z方向の力のつり合いを考えます。せん断力Qや曲げモーメントMは合力ですし、これは単位幅あたりの値ですので、力に直す必要があります。例えば、せん断力Qxであれば、基準とした赤点からdyまで作用しているので、力に変換するにはdyを掛けなければいけません。また、外力pは単位面積あたりの力です。以上のように、z方向の力のつり合いを求めると、


次に、板の中心を通りx軸に平行な軸周りのモーメントのつり合いを考えましょう。

となりますね。

は微小長さdy×dyが掛けられているので、他の値と比べると小さく、無視しても良いとします。

すると、

同様に計算しましょう。一応、丁寧に同じ過程を繰り返します。

次に、板の中心を通りx軸に平行な軸周りのモーメントのつり合いを考えましょう。

となりますね。

は微小長さdx×dxが掛けられているので、他の値と比べると値が小さく、無視しても良いとします。

よって、

以上、モーメントのつり合いから式を纏めると

です。さらに、平板の曲げモーメントは次式のように、既に求めました。

以上、代入すると、

が得られます。さらに、平板は微小変形のものを対象としていますので、ポアソン比を

とすれば、

です。また、同様にQyは、

となります。



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