平板の理論の釣り合い
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曲げモーメントを求めたときと同様に、平板の微小要素を取り出して、力のつり合いを考えてみましょう。
板には、鉛直力pが作用し、これに抵抗する内力として曲げモーメントやねじりモーメント、せん断力が作用しています。
以上の内力はすべて単位幅あたりの値としましょう。
図に示すように、板はつり合い状態にあるわけですから、ある面に曲げモーメントが作用していれば、その反対側にも曲げモーメントが生じているわけです。
さらに、赤点を基準とするならば、そこからdxだけ若しくはdyだけ離れた面での曲げモーメント及びせん断力は、その分、微増しますよね。
さて、せん断力についてですが、キルヒホッフの仮説では、
でした。しかし、その合力は無視できないものとして計算しましょう。z方向の力のつり合いを考えます。
せん断力Qや曲げモーメントMは合力ですし、これは単位幅あたりの値ですので、力に直す必要があります。
例えば、せん断力Qxであれば、基準とした赤点からdyまで作用しているので、力に変換するにはdyを掛けなければいけません。
また、外力pは単位面積あたりの力です。以上のように、z方向の力のつり合いを求めると、
次に、板の中心を通りx軸に平行な軸周りのモーメントのつり合いを考えましょう。
となりますね。
は微小長さdy×dyが掛けられているので、他の値と比べると小さく、無視しても良いとします。
すると、
同様に計算しましょう。一応、丁寧に同じ過程を繰り返します。
次に、板の中心を通りx軸に平行な軸周りのモーメントのつり合いを考えましょう。
となりますね。
は微小長さdx×dxが掛けられているので、他の値と比べると値が小さく、無視しても良いとします。
よって、
以上、モーメントのつり合いから式を纏めると
です。さらに、平板の曲げモーメントは次式のように、既に求めました。
以上、代入すると、
が得られます。さらに、平板は微小変形のものを対象としていますので、ポアソン比を
とすれば、
です。また、同様にQyは、
となります。
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