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変形とひずみの式

弾性力学で重要な式の一つとして、変形とひずみの関係があります。この関係式を導くためには、変形と歪をそれぞれ考えてみる必要があります。

・変形
さて、物体が外力を受けると、その物体は回転、変形、移動を起こします。このような物理現象を、力学的に考えてみましょう。下の図は任意の物体が外力を受け、t=0の時の物体(左側)が右側の物体へと変化 したとします。
この物体の任意の点の変化を考えてみると、
物体の任意の点の変化

さて、以上の図で任意でとった点QおよびTの距離u'、P〜Rの距離uが全く等しいとするならば、 物体は変形をしていないことになります。 また、変化した後の物体でとった任意点の方向が異なれば、それは剛体回転していることになります。さらに、図から明らかなように、物体は移動をしています。

さて、ひずみについて考えてみましょう。点Q、点Pは近い位置にあると考えます。
よって、この位置の差は以下のように示されます。微小の長さですので、
微小の長さ
と考えます。
微小の長さ2
このとき、移動した物体における微小長さも以下のように示します。
移動した物体における微小長さ
さらに、次の式を定義します。
移動した物体における微小長さ2
以上の式について微小長さを考えると、
微小長さ3
すね。よって、これをマトリクス表示すると、
ヤコビ行列
となり、このときに示される3×3のマトリクスを「ヤコビ行列」といいます。

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