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変形とひずみの式

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弾性力学で重要な式の一つとして、変形とひずみの関係があります。この関係式を導くためには、変形と歪をそれぞれ考えてみる必要があります。

変形

物体が外力を受けると、その物体は回転、変形、移動を起こします。このような物理現象を、力学的に考えてみましょう。


下の図は任意の物体が外力を受け、t=0の時の物体(左側)が右側の物体へと変化したとします。


この物体の任意の点の変化を考えてみると、


物体の任意の点の変化


さて、以上の図で任意でとった点QおよびTの距離u'、P~Rの距離uが全く等しいとするならば、物体は変形をしていないことになります。


また、変化した後の物体でとった任意点の方向が異なれば、それは剛体回転していることになります。さらに、図から明らかなように、物体は移動をしています。

変形

さて、ひずみについて考えてみましょう。点Q、点Pは近い位置にあると考えます。


よって、この位置の差は以下のように示されます。微小の長さですので、


微小の長さ


と考えます。


微小の長さ2


このとき、移動した物体における微小長さも以下のように示します。


移動した物体における微小長さ


さらに、次の式を定義します。


移動した物体における微小長さ2


以上の式について微小長さを考えると、


微小長さ3


すね。よって、これをマトリクス表示すると、


ヤコビ行列


となり、このときに示される3×3のマトリクスを「ヤコビ行列」といいます。

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