変形とひずみの式

弾性力学で重要な式の一つとして、変形とひずみの関係があります。この関係式を導くためには、変形と歪をそれぞれ考えてみる必要があります。

物体が外力を受けると、その物体は回転、変形、移動を起こします。このような物理現象を、力学的に考えてみましょう。

下の図は任意の物体が外力を受け、t=0の時の物体（左側）が右側の物体へと変化したとします。

この物体の任意の点の変化を考えてみると、

物体の任意の点の変化

さて、以上の図で任意でとった点QおよびTの距離u'、P～Rの距離uが全く等しいとするならば、物体は変形をしていないことになります。

また、変化した後の物体でとった任意点の方向が異なれば、それは剛体回転していることになります。さらに、図から明らかなように、物体は移動をしています。

さて、ひずみについて考えてみましょう。点Q、点Pは近い位置にあると考えます。

よって、この位置の差は以下のように示されます。微小の長さですので、

と考えます。

微小の長さ２

このとき、移動した物体における微小長さも以下のように示します。

さらに、次の式を定義します。

以上の式について微小長さを考えると、

すね。よって、これをマトリクス表示すると、

ヤコビ行列

となり、このときに示される３×３のマトリクスを｢ヤコビ行列｣といいます。