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総和規約とは

・添字について

直角座標系(交わる座標系の角度が直角のもの)x,y,zをそれぞれx1, x2, x3と表現してみます。また、i=1,2,3とすればxiとすることができますね。このとき、iを添字と呼びます。


・総和規約とは

さて、直角座標系x,y,zにおいて微小線素の長さdsは、 そのx,y,z方向成分をそれぞれdx,dy,dzとすると、

ですね。

さきほどの添字で表すと

です。以上のような計算で、いちいち総和記号をつけるは面倒ですよね?よって、以下のように省略した形で表現します。

これを総和規約と言います。また、和をとる指標のことを擬標と呼び、dx1, dx2, dx3のそれぞれを表すdxiにおける指標を自由標と呼びます。 さらに、擬標は必要に応じて適当に文字を変えることもできます。

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・クロネッカーのδとは

クロネッカーのδを以下のように定義する。


・交代記号とは

交代記号を以下のように定義する。


・偶置換

例えば123を基準にして考え、231を再び123へ変換するためには1と2を入れ替え、次に2と3を入れ替えます。この入れ替える回数が2回(偶数回)なので、偶置換となります。

・奇置換

例えば123を基準にして考え、213を再び123へ変換するためには1と2を入れ替えます。この入れ替える回数が1回(奇数回)なので、奇置換となります。


・演習問題

以上の内容の理解を深めるために次の等式を証明してみましょう。


・演習の解き方

この手の問題のコツはガリガリと代入して計算することです。

まず最初の問題についてですが、δijは擬標ですので、添字であるiにそれぞれ1,2,3を代入し、和をとります。よって、

ですね。

次の問題では、擬標がi,jとなっています。よって以下のように代入して整理すると

です。

続きはクロネッカーのδ-演習問題-で。

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