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鋼構造の基礎-棒の曲げ座屈（オイラー座屈）-

この記事の要点

オイラー座屈荷重はPcr=π2EI/L2で表され、微分方程式（弾性曲線式）と境界条件から導出される。

座屈荷重は部材のEI（曲げ剛性）に比例し、座屈長さLの2乗に反比例する。支点条件によって座屈長さが変わる。

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長い柱は圧縮荷重によって材料の圧縮強度よりも低い荷重で破断してしまう場合があります。このような現象を座屈といい、座屈を起こした時の荷重を座屈荷重と呼んでいます。座屈には以降に取り扱う、｢棒の曲げ座屈｣の他にも板の座屈、シェルの座屈など、現在でも活発な研究がおこなわれています。

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さて、次の図を見てください。この長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態です。この柱は座屈を起こし、yの変形をおこしているとします。この状態で弾性曲線式を解き、座屈荷重を求めましょう。

長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態

弾性曲線式は以下のように示されます。

弾性曲線式

曲げモーメントは

M=py

です。よって、

弾性曲線式２

計算を行いやすくするために、

微分方程式

斉次方程式

とします。このような微分方程式（斉次方程式）を解く場合、解のyを以下のように仮定して解きます。

微分方程式（斉次方程式）を解く

つまり、この微分方程式の固有値は以下のようにして求めることができます。

微分方程式の固有値

ですね。さて、初めに仮定した解にλを代入します。解は2つ存在するので、2つを代入し足し合わせたものがyとなりますね。

さて、オイラーの公式を考えましょう。オイラーの公式とは、eの関数と三角関数をマクローリン展開によって関係づけた式です。以下のように、

です。つまり、

オイラーの公式２

ですから結局、yの式は以下のように示すことが出来ます。

オイラーの公式３

A及びBは定数なので、(A+B),i(A+B)を改めてA、Bと書きなおします。

以上のように、座屈の方程式は次のように示されます。

さて、目的は座屈荷重を求めることです。まずは境界条件によって定数を求めましょう。

境界条件は

x=0,y1=0

x=L,y2=0

境界条件によって定数を求める

です。B=0では方程式が全て0となり意味の無い式となるので、

境界条件によって定数を求める２

(n =1,2…)となります。よって、以上のことから座屈の式は

座屈の式

です。ここで、

であったのでPの形に直して整理すると、

Pの形に直して整理

座屈が始まるときの荷重を求めたいので、nが最小の値である(n=1)として、座屈荷重を決定します。よって、

座屈荷重を決定

が｢座屈荷重｣となります。また、支点が変われば境界条件も変わり座屈荷重も異なります。

後のページで、｢片持ち梁｣、｢両端固定｣、｢片側ピン、片側固定端｣などの支点条件で座屈荷重を求めてみましょう。

混同しやすい用語

横座屈

横座屈とは、梁が曲げを受けたときに、圧縮側フランジが横方向にはらみ出して起こる座屈現象のこと。

オイラー座屈が圧縮材が軸方向荷重により長さ方向に曲がる現象であるのに対して、横座屈は曲げ材が横方向にたわむ現象であり、発生する条件と対象部材が異なる。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では「座屈荷重はPcr=π2EI/L2」という式とともに、支点条件ごとの座屈長さ（両端ピン：L、片側固定：0.5L、片持ち：2Lなど）の違いが出題される。各支点条件での比較をセットで覚えておこう。

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名前　ハナダユキヒロ/MITUME lab代表.
2010年　弊サイトを開設
2010～2017年　国立大学大学院修了
2017年12月に当HPが書籍化。
「わかる構造力学」
2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
「わかる構造力学(改訂版)」

10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に向けて

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