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鋼構造の基礎-棒の曲げ座屈(オイラー座屈)-

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長い柱は圧縮荷重によって材料の圧縮強度よりも低い荷重で破断してしまう場合があります。このような現象を座屈といい、座屈を起こした時の荷重を座屈荷重と呼んでいます。座屈には以降に取り扱う、「棒の曲げ座屈」の他にも板の座屈、シェルの座屈など、現在でも活発な研究がおこなわれています。


こちらは僕も1冊持っている鋼構造の本です。内容が分かりやすく、学生と実務初心者にもおすすめです。

わかりやすい鉄骨の構造設計


さて、次の図を見てください。この長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態です。この柱は座屈を起こし、yの変形をおこしているとします。この状態で弾性曲線式を解き、座屈荷重を求めましょう。


長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態


弾性曲線式は以下のように示されます。


弾性曲線式


曲げモーメントは


M=py


です。よって、


弾性曲線式2


計算を行いやすくするために、


微分方程式


斉次方程式


とします。このような微分方程式(斉次方程式)を解く場合、解のyを以下のように仮定して解きます。


微分方程式(斉次方程式)を解く


つまり、この微分方程式の固有値は以下のようにして求めることができます。


微分方程式の固有値


ですね。さて、初めに仮定した解にλを代入します。解は2つ存在するので、2つを代入し足し合わせたものがyとなりますね。


仮定した解にλを代入


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さて、オイラーの公式を考えましょう。オイラーの公式とは、eの関数と三角関数をマクローリン展開によって関係づけた式です。以下のように、


オイラーの公式


です。つまり、


オイラーの公式2


ですから結局、yの式は以下のように示すことが出来ます。


オイラーの公式3


A及びBは定数なので、(A+B),i(A+B)を改めてA、Bと書きなおします。


以上のように、座屈の方程式は次のように示されます。


座屈の方程式


さて、目的は座屈荷重を求めることです。まずは境界条件によって定数を求めましょう。


境界条件は


x=0,y1=0

x=L,y2=0

境界条件によって定数を求める


です。B=0では方程式が全て0となり意味の無い式となるので、


境界条件によって定数を求める2


(n =1,2…)となります。よって、以上のことから座屈の式は


座屈の式


です。ここで、


座屈の式2


であったのでPの形に直して整理すると、


Pの形に直して整理


座屈が始まるときの荷重を求めたいので、nが最小の値である(n=1)として、座屈荷重を決定します。よって、


座屈荷重を決定


が「座屈荷重」となります。また、支点が変われば境界条件も変わり座屈荷重も異なります。


後のページで、「片持ち梁」、「両端固定」、「片側ピン、片側固定端」などの支点条件で座屈荷重を求めてみましょう。

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