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図心ってなに?図心の求め方と断面一次モーメントの関係

図心とは何でしょうか。例えば四角形の図心は、明らかに中央にあります。では複雑な形状の図心はどこでしょうか。複雑な図形の図心は、図形の中心にはありません。つまり、

では無いのです。では、図心はどうやって求めるのでしょうか。今回は図心の意味と、図心と中立軸の関係、図心の求め方、図心と断面一次モーメントの関係について説明します。


図心ってなに?

図心とは、その位置を支点にしたとき、図形が釣り合う点です(ただし重量は均一に作用する)。言葉で説明するより図を見て頂いた方が分かりやすいです。下図を見てください。


上図のように、直角三角形の重心位置は三角形の長さの1/3にあります。つまり直角三角形は、上図の赤丸位置を支点にすれば、外部からの影響がない限り、倒れたりしません。下図を見てください。

三角形の、木の板があると考えます。前述したように、三角形の図心位置は赤丸印の位置です。この板の図心に指をかざし支えれば、理論上は倒れることはありません。


図心は、図形の形状によって異なります。四角形の図心は、皆さんがご存知の通り中央にありますが、三角形や色々な形によって図心は違うのです。では、図心はどうやって算定すれば良いのでしょうか。


実は、図心位置を算定するには、ある値を計算する必要があります。それが「断面一次モーメント」です。断面一次モーメントが何か、なぜ図心と関係するのか、詳細な説明は下記の記事が参考になります。


では、皆さんが断面一次モーメントについて理解して頂いたとして、実際に図心を計算しましょう。

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図心の求め方

さて、図心の求め方は断面一次モーメントを使うことで簡単に求めることができました。会の通りです。

Aは、ある図形の断面積、yは、ある図形の図心位置です。つまり、断面積と図心位置までの距離を合計した値を、全断面積で割ればよいのです。試しに下図の図心位置を求めましょう。

一見、複雑な形をしていて図心位置が難しそうに思います。しかし、実際の計算は簡単です。まず、図心を求める計算式を思い出してください。下記でした。

これは図形を分割して、A×yを求め、全断面積で割って求めても良いのです。つまり、上図のように@の図形と、Aの図形に分けて考えます。まずy方向の図心を求めます。


@の図形は、

A×y=2×8×4=64

です。


Aの図形は、

A×y=2×10×9=180

です。

 

全断面積は、

A=2×8+2×10=36

です。


よって、y方向の図心位置は

y= (64+180)/36=6.77⇒6.8cm

です。


x方向の図心位置も上記と同様の方法で算定できます。但し、今回は左右対称の図形のため、x方向の図心位置は中心です。よって、算定を省略します。


図心と中立軸の関係

部材は曲げモーメントが作用するとき、引張力を圧縮力を受けて曲げられます。部材は中立軸を境に曲げられますが、中立軸では変形していません。つまり中立軸は応力が作用していない点です。中立軸は部材の図心に等しく、前述した方法により計算します。

まとめ

今回は図心について説明しました。なんとなく図心=中央と考えがちですが、そうではありません。図形の形状によって異なる値です。計算方法は、断面一次モーメントが深く関係しています。まだ読んでいない方は、是非読んでみてください。

以上、今回の記事が参考になれば幸いです。

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