図心ってなに？図心の求め方と断面一次モーメントの関係

この記事の要点

図心とは断面の幾何学的な中心点であり、断面一次モーメントをゼロにする点（Gx＝Gy＝0となる点）として定義される。

図心は必ずしも断面の中央ではなく、L形・T形などの不均一な断面では断面一次モーメントを使って計算で求める必要がある。

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図心とは何でしょうか。例えば四角形の図心は、明らかに中央にあります。では複雑な形状の図心はどこでしょうか。複雑な図形の図心は、図形の中心にはありません。つまり、

図心＝図形の中心

では無いのです。では、図心はどうやって求めるのでしょうか。今回は図心の意味と、図心と中立軸の関係、図心の求め方、図心と断面一次モーメントの関係について説明します。

中立軸、断面一次モーメントの意味、図心と重心の違いは下記が参考になります。

中立軸とは？1分でわかる意味、定義、コンクリートの中立軸、合成梁

断面一次モーメントとは？公式・図心の求め方と計算例

図心と重心の違いは？1分でわかる意味、読み方、図心と断面二次モーメントとの関係

図心ってなに？

図心とは、その位置を支点にしたとき、図形が釣り合う点です（ただし重量は均一に作用する）。言葉で説明するより図を見て頂いた方が分かりやすいです。下図を見てください。

上図のように、直角三角形の重心位置は三角形の長さの1/3にあります。

つまり直角三角形は、上図の赤丸位置を支点にすれば、外部からの影響がない限り、倒れたりしません。下図を見てください。

三角形の、木の板があると考えます。前述したように、三角形の図心位置は赤丸印の位置です。この板の図心に指をかざし支えれば、理論上は倒れることはありません。

図心は、図形の形状によって異なります。四角形の図心は、皆さんがご存知の通り中央にありますが、三角形や色々な形によって図心は違うのです。

では、図心はどうやって算定すれば良いのでしょうか。

実は、図心位置を算定するには、ある値を計算する必要があります。それが「断面一次モーメント」です。断面一次モーメントの意味、図心と重心の違いは下記が参考になります。

断面一次モーメントとは？公式・図心の求め方と計算例

図心と重心の違いは？1分でわかる意味、読み方、図心と断面二次モーメントとの関係

では、皆さんが断面一次モーメントについて理解頂いたとして、実際に図心を計算しましょう。

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図心の求め方

さて、図心の求め方は断面一次モーメントを使うことで簡単に求めることができました。会の通りです。

Σ（A×ｙ）／ΣA

Aは、ある図形の断面積、ｙは、ある図形の図心位置です。つまり、断面積と図心位置までの距離を合計した値を、全断面積で割ればよいのです。

試しに下図の図心位置を求めましょう。

一見、複雑な形をしていて図心位置が難しそうに思います。しかし、実際の計算は簡単です。まず、図心を求める計算式を思い出してください。下記でした。

Σ（A×ｙ）／ΣA

これは図形を分割して、A×ｙを求め、全断面積で割って求めても良いのです。つまり、上図のように①の図形と、②の図形に分けて考えます。まずｙ方向の図心を求めます。

①の図形は、

A×ｙ＝2×8×4＝64

です。

②の図形は、

A×ｙ＝2×10×9＝180

です。

全断面積は、

A=2×8+2×10＝36

です。

よって、ｙ方向の図心位置は

ｙ＝ (64+180)／36＝6.77⇒6.8ｃｍ

です。

ｘ方向の図心位置も上記と同様の方法で算定できます。但し、今回は左右対称の図形のため、ｘ方向の図心位置は中心です。よって、算定を省略します。

図心と中立軸の関係

部材は曲げモーメントが作用するとき、引張力を圧縮力を受けて曲げられます。部材は中立軸を境に曲げられますが、中立軸では変形していません。

つまり中立軸は応力が作用していない点です。中立軸は部材の図心に等しく、前述した方法により計算します。

中立軸の意味は下記も参考にしてください。

中立軸とは？1分でわかる意味、定義、コンクリートの中立軸、合成梁

混同しやすい用語

図心 vs 重心

図心は断面の幾何学的な中心で、断面一次モーメント（GS＝∫y dA）を基準に計算する概念である。

重心は物体の質量（重さ）の中心で、材料の密度分布が均一な場合は図心と重心は一致するが、複合材料や不均一な密度分布の場合は異なる。

断面一次モーメント vs 断面二次モーメント

断面一次モーメントは「断面積×重心までの距離」（GS＝Σ（Ai×yi））で求まる値で、図心位置の計算に使う。

断面二次モーメントは断面の曲げ剛性を表す値（I＝∫y2dA）で、図心を原点とする軸について計算することが多く、断面の曲げ抵抗力の評価に使う。

図心を整理した表を示します。

項目	内容	備考
定義	図形が釣り合う点（断面一次モーメント＝0となる点）	必ずしも図形の中央ではない
求め方	ｙ＝Σ（A×ｙ）／ΣA（断面一次モーメントを使用）	複合断面は部分に分割して計算
中立軸との関係	中立軸は図心を通る（応力がゼロの位置）	断面二次モーメントは図心軸まわりで最小