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円の断面二次モーメントの求め方は?1分でわかる公式、導出方法、計算例

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円の断面二次モーメントIの公式は「I=πD^4/64」です。Dは円の直径、πは円周率です。直径の長さ(あるいは半径)が分かれば、断面二次モーメントの値がすぐに算定できます。また、円の断面二次モーメントの公式の導出は、円の性質を理解していれば「長方形のIの導出」と変わりません。今回は、円の断面二次モーメントの求め方、公式、導出方法、計算例について説明します。断面二次モーメントの定義、意味、計算方法は下記も参考になります。

断面二次モーメントとは?1分でわかる意味、計算式、h形鋼、公式、たわみとの関係

断面二次モーメントの計算式は?1分でわかる求め方、円、パイプ、i型の計算式

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円の断面二次モーメントの求め方は?公式と導出方法

円の断面二次モーメントIの公式は、


I=(πD^4)/64


です。πは円周率、Dは円の直径です。


円の断面二次モーメント


D=100cmとすれば、


I=(πD^4)/64=(π×100^4)/64


のように計算すれば良いです(※結果は省略します)。なお、4乗の計算は面倒なのでExcelや電卓を用いて算定すると簡単です。


さて、前述した円の断面二次モーメントを、断面二次モーメントの定義式から導出します。円の性質を理解していれば「長方形のIの導出」と考え方は同じです。


断面二次モーメントの定義式を下記に示します。



下図をみてください。円の半径をr、任意の点におけるy座標の値を「y」とします。


円の断面二次モーメント2


長方形の断面二次モーメントと考え方は同じで、円の図心に対する断面二次モーメントは「y^2×微小面積を-rからrの範囲まで積分」します。


なお、微小面積はdA、y方向の微小長さはdyとします。微小面積は長方形なので「縦×横=dy×横」で求めます。


円の断面二次モーメント3


微小面積dAを求めましょう。dAは「dy×x方向の長さ」ですが、x方向の長さは与えられていないので、yやrを用いて表す必要があります。


円の断面二次モーメント4


ここで、円の性質を思い出してください。任意の点におけるy座標の値がy、半径rなので、x座標の値はピタゴラスの定理より、


x^2+y^2=r^2


です。上記をx=の形になるよう整理すると、


円の断面二次モーメント5


上記の長さは原点からy点までの長さです。-y点からy点までのxの長さは2倍すればよいので、


x=2√(r^2-y^2 )


です。よって、任意の点における微小面積dAは、


円の断面二次モーメント6


です。dAが算定できたので、あとは「-rからr」までy^2×dAを積分しましょう。


円の断面二次モーメント7


上記の積分はやや面倒です。置換積分あるいは部分積分により解く必要があります。積分を解くことが主眼では無いので、ここではx^2√(a^2-x^2)の積分公式を示し、途中の導出は省略します。


x^2√(a^2-x^2)の積分公式は、


円の断面二次モーメント8


です。


上記より、


円の断面二次モーメント9


です。根号を含む式にrや-rを代入しても0になるので、結局、上式は


円の断面二次モーメント10


になります。Sin^-1(1)=π/2なので、


円の断面二次モーメント11


です。rは半径でした。直径Dと半径rの関係は「r=D/2」なので、


円の断面二次モーメント12


になります。上記の通り、円の断面二次モーメントが導出できましたね。途中、ややこしい積分を解く必要はあるのですが、断面二次モーメントの導出の考え方は「長方形のもの」と変わりません。断面二次モーメントの詳細は下記もご覧ください。

断面二次モーメントとは?1分でわかる意味、計算式、h形鋼、公式、たわみとの関係

円の断面二次モーメントの計算例

例題として、下図に示す円の断面二次モーメントを求めましょう。※前述した公式を用いて良い。


円の断面二次モーメントの計算例


半径が100mmなので、直径は200mmですよね。よって、


円の断面二次モーメントの計算例2


になります。


ところで、正方形と円の断面二次モーメントを比較すると、どちらが大きいでしょうか。円の直径をD、正方形の一辺の長さを「円の直径を同じ長さD」とします。このとき、


円の断面二次モーメントの計算例3


なので、正方形のIの方が「64/12π≒1.7」大きいことが分かります。断面二次モーメントの計算式は下記も参考になります。

断面二次モーメントの計算式は?1分でわかる求め方、円、パイプ、i型の計算式

まとめ

今回は、円の断面二次モーメントについて説明しました。円の断面二次モーメントの公式は「πD^4/64」です。円なので、断面二次モーメントの導出が難しそうですが、考え方は長方形と同じです。ただし、途中式でやや面倒な積分を解く必要があるので注意しましょう。断面二次モーメントの意味や詳細、円の断面係数は下記が参考になります。

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