構造図解で一発理解建築用語サクッと理解構造力学が苦手おすすめ書籍おすすめPDF教材 noteで学ぶ

HOME > 構造力学の基礎 > 円の断面二次モーメントの求め方は？1分でわかる公式、導出方法、計算例

円の断面二次モーメントの求め方は？1分でわかる公式、導出方法、計算例

この記事の要点

円の断面二次モーメントはI=πD⁴/64で求めます。パイプ（円管）の断面二次モーメントは外径と内径の差から計算します。

【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒　建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット

円の断面二次モーメントIの公式は「I＝πD^4/64」です。Dは円の直径、πは円周率です。直径の長さ（あるいは半径）が分かれば、断面二次モーメントの値がすぐに算定できます。また、円の断面二次モーメントの公式の導出は、円の性質を理解していれば「長方形のIの導出」と変わりません。今回は、円の断面二次モーメントの求め方、公式、導出方法、計算例について説明します。断面二次モーメントの定義、意味、計算方法は下記も参考になります。

断面二次モーメントとは？1分でわかる意味、計算式、h形鋼、公式、たわみとの関係

断面二次モーメントの計算式は？1分でわかる求め方、円、パイプ、i型の計算式

100円から読める！ネット不要！印刷しても読みやすいPDF記事はこちら⇒　いつでもどこでも読める！広告無し！建築学生が学ぶ構造力学のPDF版の学習記事

円の断面二次モーメントの求め方は？公式と導出方法

円の断面二次モーメントIの公式は、

I＝(πD^4)/64

です。πは円周率、Dは円の直径です。

円の断面二次モーメント

D＝100cmとすれば、

I＝(πD^4)/64=(π×100^4)/64

のように計算すれば良いです（※結果は省略します）。なお、4乗の計算は面倒なのでExcelや電卓を用いて算定すると簡単です。

さて、前述した円の断面二次モーメントを、断面二次モーメントの定義式から導出します。円の性質を理解していれば「長方形のIの導出」と考え方は同じです。

断面二次モーメントの定義式を下記に示します。

下図をみてください。円の半径をr、任意の点におけるy座標の値を「y」とします。

円の断面二次モーメント2

長方形の断面二次モーメントと考え方は同じで、円の図心に対する断面二次モーメントは「y^2×微小面積を－rからrの範囲まで積分」します。

なお、微小面積はdA、ｙ方向の微小長さはdyとします。微小面積は長方形なので「縦×横＝dy×横」で求めます。

円の断面二次モーメント3

微小面積dAを求めましょう。dAは「dy×ｘ方向の長さ」ですが、ｘ方向の長さは与えられていないので、yやrを用いて表す必要があります。

円の断面二次モーメント4

ここで、円の性質を思い出してください。任意の点におけるｙ座標の値がｙ、半径ｒなので、ｘ座標の値はピタゴラスの定理より、

です。上記をx=の形になるよう整理すると、

円の断面二次モーメント5

上記の長さは原点からｙ点までの長さです。－y点からy点までのｘの長さは2倍すればよいので、

x=2√(r^2－y^2 )

です。よって、任意の点における微小面積dAは、

円の断面二次モーメント6

です。dAが算定できたので、あとは「－rからr」までy^2×dAを積分しましょう。

円の断面二次モーメント7

上記の積分はやや面倒です。置換積分あるいは部分積分により解く必要があります。積分を解くことが主眼では無いので、ここではx^2√(a^2－x^2)の積分公式を示し、途中の導出は省略します。

x^2√(a^2－x^2)の積分公式は、

円の断面二次モーメント8

です。

上記より、

円の断面二次モーメント9

です。根号を含む式にrや－rを代入しても0になるので、結局、上式は

円の断面二次モーメント10

になります。Sin^-1(1)=π/2なので、

円の断面二次モーメント11

です。ｒは半径でした。直径Ｄと半径ｒの関係は「r=D/2」なので、

円の断面二次モーメント12

になります。上記の通り、円の断面二次モーメントが導出できましたね。途中、ややこしい積分を解く必要はあるのですが、断面二次モーメントの導出の考え方は「長方形のもの」と変わりません。断面二次モーメントの詳細は下記もご覧ください。

断面二次モーメントとは？1分でわかる意味、計算式、h形鋼、公式、たわみとの関係

円の断面二次モーメントの計算例

例題として、下図に示す円の断面二次モーメントを求めましょう。※前述した公式を用いて良い。

円の断面二次モーメントの計算例

半径が100mmなので、直径は200mmですよね。よって、

円の断面二次モーメントの計算例2

になります。

ところで、正方形と円の断面二次モーメントを比較すると、どちらが大きいでしょうか。円の直径をＤ、正方形の一辺の長さを「円の直径を同じ長さＤ」とします。このとき、

円の断面二次モーメントの計算例3

なので、正方形のＩの方が「64/12π≒1.7」大きいことが分かります。断面二次モーメントの計算式は下記も参考になります。

断面二次モーメントの計算式は？1分でわかる求め方、円、パイプ、i型の計算式

混同しやすい用語

円の断面二次モーメント（I=πD⁴/64）

直径Dの4乗に比例。全方向で同じ値（等方性）。

パイプの断面二次モーメント（I=π(D⁴－d⁴)/64）

Dは外径、dは内径。外側と内側の差で求める。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では「円と長方形の断面二次モーメントの大小比較」が出題されます。同断面積のとき円はI=πD⁴/64、正方形はI=a⁴/12となり、この比較ができるようにしておきましょう。

まとめ

今回は、円の断面二次モーメントについて説明しました。円の断面二次モーメントの公式は「πＤ^4/64」です。円なので、断面二次モーメントの導出が難しそうですが、考え方は長方形と同じです。ただし、途中式でやや面倒な積分を解く必要があるので注意しましょう。断面二次モーメントの意味や詳細、円の断面係数は下記が参考になります。

断面二次モーメントとは？1分でわかる意味、計算式、h形鋼、公式、たわみとの関係

円の断面係数の求め方は？1分でわかる公式、導出方法と計算例

断面係数とは

【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒　建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット

この記事の内容を○×クイズで確認する

この記事で学んだ内容は、無料の○×問題集でも確認できます。

意味を読んで終わりにせず、実際に理解できているかチェックしてみましょう。

ゼロ所長の構造力学問題集で確認する