円の断面二次モーメントの公式I=πD⁴/64｜導出方法と計算例

この記事の要点

円の断面二次モーメントはI=πD⁴/64で求めます。

パイプ（円管）の断面二次モーメントは外径と内径の差から計算します。

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円の断面二次モーメントIの公式は「I＝πD^4/64」です。

Dは円の直径、πは円周率です。

直径の長さ（あるいは半径）が分かれば、断面二次モーメントの値がすぐに算定できます。

また、円の断面二次モーメントの公式の導出は、円の性質を理解していれば「長方形のIの導出」と変わりません。

今回は、円の断面二次モーメントの求め方、公式、導出方法、計算例について説明します。

断面二次モーメントの定義、意味、計算方法は下記も参考になります。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

断面二次モーメントの計算式｜円・パイプ・I型の公式と求め方

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円の断面二次モーメントの求め方は？公式と導出方法

円の断面二次モーメントIの公式は、

I＝(πD^4)/64

です。πは円周率、Dは円の直径です。

円の断面二次モーメント

D＝100cmとすれば、

I＝(πD^4)/64=(π×100^4)/64

のように計算すれば良いです（※結果は省略します）。なお、4乗の計算は面倒なのでExcelや電卓を用いて算定すると簡単です。

さて、前述した円の断面二次モーメントを、断面二次モーメントの定義式から導出します。円の性質を理解していれば「長方形のIの導出」と考え方は同じです。

断面二次モーメントの定義式を下記に示します。

下図をみてください。円の半径をr、任意の点におけるy座標の値を「y」とします。

円の断面二次モーメント2

長方形の断面二次モーメントと考え方は同じで、円の図心に対する断面二次モーメントは「y^2×微小面積を－rからrの範囲まで積分」します。

なお、微小面積はdA、ｙ方向の微小長さはdyとします。微小面積は長方形なので「縦×横＝dy×横」で求めます。

円の断面二次モーメント3

微小面積dAを求めましょう。dAは「dy×ｘ方向の長さ」ですが、ｘ方向の長さは与えられていないので、yやrを用いて表す必要があります。

円の断面二次モーメント4

ここで、円の性質を思い出してください。任意の点におけるｙ座標の値がｙ、半径ｒなので、ｘ座標の値はピタゴラスの定理より、

です。上記をx=の形になるよう整理すると、

円の断面二次モーメント5

上記の長さは原点からｙ点までの長さです。－y点からy点までのｘの長さは2倍すればよいので、

x=2√(r^2－y^2 )

です。よって、任意の点における微小面積dAは、

円の断面二次モーメント6

です。dAが算定できたので、あとは「－rからr」までy^2×dAを積分しましょう。

円の断面二次モーメント7

上記の積分はやや面倒です。置換積分あるいは部分積分により解く必要があります。積分を解くことが主眼では無いので、ここではx^2√(a^2－x^2)の積分公式を示し、途中の導出は省略します。

x^2√(a^2－x^2)の積分公式は、

円の断面二次モーメント8

です。

上記より、

円の断面二次モーメント9

です。根号を含む式にrや－rを代入しても0になるので、結局、上式は

円の断面二次モーメント10

になります。Sin^-1(1)=π/2なので、

円の断面二次モーメント11

です。ｒは半径でした。直径Ｄと半径ｒの関係は「r=D/2」なので、

円の断面二次モーメント12

になります。上記の通り、円の断面二次モーメントが導出できましたね。途中、ややこしい積分を解く必要はあるのですが、断面二次モーメントの導出の考え方は「長方形のもの」と変わりません。断面二次モーメントの詳細は下記もご覧ください。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

円の断面二次モーメントの計算例

例題として、下図に示す円の断面二次モーメントを求めましょう。※前述した公式を用いて良い。

円の断面二次モーメントの計算例

半径が100mmなので、直径は200mmですよね。よって、

円の断面二次モーメントの計算例2

になります。

ところで、正方形と円の断面二次モーメントを比較すると、どちらが大きいでしょうか。円の直径をＤ、正方形の一辺の長さを「円の直径を同じ長さＤ」とします。このとき、

円の断面二次モーメントの計算例3

なので、正方形のＩの方が「64/12π≒1.7」大きいことが分かります。断面二次モーメントの計算式は下記も参考になります。

断面二次モーメントの計算式｜円・パイプ・I型の公式と求め方

混同しやすい用語

円の断面二次モーメント（I=πD⁴/64）

直径Dの4乗に比例。

全方向で同じ値（等方性）。

パイプの断面二次モーメント（I=π(D⁴－d⁴)/64）

Dは外径、dは内径。

外側と内側の差で求める。

円の断面二次モーメントを整理した表を示します。

項目	内容	備考
円の断面二次モーメント	I＝πD⁴/64	Dは直径、全方向で等値
パイプの断面二次モーメント	I＝π(D⁴－d⁴)/64	Dは外径、dは内径
長方形との比較	同断面積の場合 I＝πD⁴/64 vs a⁴/12	建築士試験頻出