たわみ（撓み）とは？意味・求め方・公式・単位・記号をわかりやすく解説

この記事の要点

たわみ（撓み）とは、梁やスラブなどの水平部材が荷重を受けて、元の位置から曲がって変形すること、（あるいはその変形量）です。たわみ量は、たわみの変形量を表す値で、記号δ（デルタ）を使います。

たわみの単位は、主にmmやcmで表します。たわみの大きさは、荷重、スパン、支持条件、曲げ剛性EI（ヤング係数E×断面二次モーメントI）で変わります。

この記事では、たわみとは何か、記号δ・単位・たわみ角との違い、たわみ公式で見るべきP・L・E・Iの意味を整理します。

たわみ（撓み）は、重さにより水平部材が元状態から「変形」することです。

単純梁に集中荷重が作用したときのたわみ量δとたわみ角θの関係

梁やスラブはたわみに注意します。今回はたわみの意味、求め方、公式、単位、たわみの記号と計算法について説明します。

理解に役立つ前提知識

たわみの計算方法を詳しく確認したい方は、下記の記事が参考になります。

梁のたわみを求める方法｜単純梁・片持ち梁の公式と計算手順

また、梁がたわむと、たわみ量だけでなく部材の傾きである「たわみ角」も生じます。

たわみ角とは？公式・単位（rad）・例題で学ぶ計算法

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タップできる目次

たわみとは？
たわみの公式と求め方

たわみとは？

たわみは、重さ（荷重）により水平部材（梁やスラブなど）が、元の状態から曲がってたわむ（変形する）ことです。構造力学では、元の位置からどれだけ変形したかを「たわみ量」として扱います。

下図をみてください。梁に荷重をかけています。荷重が作用すると、梁は下側に変形します。

これが、たわみです。

梁が荷重を受けて下側へたわむ様子

たわみ量の記号はδ（デルタ）です。単位は「mm」「cm」が一般的で、あとで説明する公式でも、単位をそろえることが大切です。

たわみを求めることは、重要な構造計算の１つです。例えば、梁が応力に対して問題無くても、たわみが大き過ぎれば、歩くことができません。

たわみが大きい梁では歩行性に支障が出ることを示す図

よって、たわみはできる限り「小さくすること」が大切です。建築基準法、各種計算規準より、たわみは下記の値に抑えます。

δ＝Ｌ／250（Ｌ／300）以下

δはたわみ、Ｌは梁の有効長さ、250は鉄筋コンクリート部材の値、300は鉄骨部材の値です。上記のたわみの制限を、「変形制限」「使用上の支障が起こらないことの確認」といいます。

梁の有効長さについては下記が参考になります。

有効長さ（有効長）とは？建築・溶接・梁での意味と使い方

では具体的に、梁のたわみの公式と求め方を勉強しましょう。

たわみの公式と求め方

たわみの公式を下記に示します。

集中荷重作用時のたわみの公式

等分布荷重作用時のたわみの公式

上図は一般的な梁のたわみの公式です。たわみの公式は、荷重条件と境界条件によって変わります。ただし、どの公式でも大切なのは、荷重、スパン、曲げ剛性EIの関係です。

荷重Pやwが大きいほど、たわみは大きくなります。また、スパンLが長いほど、たわみは大きくなります。反対に、曲げ剛性EIが大きいほど、たわみは小さくなります。

荷重条件、境界条件を与えた主要な梁のたわみの公式を、下記に示します。

たわみの公式

上記4つの公式は、構造設計の実務で毎日使います。たわみの公式を誘導することも大切ですが、暗記もしましょう。

たわみの公式の誘導は、下記が参考になります。

梁のたわみを求める方法｜単純梁・片持ち梁の公式と計算手順

たわみの公式は？1分でわかる種類、覚え方、単位、導出

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たわみの単位

たわみの単位は「mm」「cm」が一般的です。梁のスパンに比べると、たわみ量は小さい値になるため、基本的にはmmで確認します。「m」の単位を使うことは少ないので、注意してくださいね。

たわみの記号

たわみに関する記号を下記に示します。下記の記号は、たわみを求めるとき使う記号です。意味を必ず覚えてください。

記号	単位	意味
δ	mm、cm	たわみ量。梁やスラブが元の位置からどれだけ変形したかを表す
P	kN、N	集中荷重。梁の一点に作用する荷重
w	kN/m、N/m	等分布荷重。梁の長さ方向に均等に作用する荷重
L	m、mm	部材のスパン（支点間距離）
E	N/mm²	ヤング係数（弾性係数）。材料の変形しにくさを表す
I	mm⁴、cm⁴	断面二次モーメント。断面形状による曲げにくさを表す
EI	N・mm²など	曲げ剛性。EとIの積で、値が大きいほどたわみにくい

たわみの公式では、P・w・L・E・Iの単位をそろえることが大切です。特に、mとmm、cm⁴とmm⁴が混ざると、計算結果が大きくずれます。たわみを計算するときは、単位を合わせることを忘れないでください。下記も参考にしてくださいね。

たわみの記号δ（デルタ）の読み方・書き方・単位・ヤング率との関係

たわみの計算法

実際に、たわみを計算します。

単純梁の中央集中荷重によるたわみ公式と各記号の意味

下図をみてください。片持ち梁で、先端に集中荷重が作用しています。スパンは5.0m、荷重は10.0kN、断面二次モーメントは1810cm⁴、ヤング係数は2.05×10⁵N/mm²です。

片持ち梁に集中荷重が作用するたわみの計算例

片持ち梁で、先端に集中荷重が作用します。よって、たわみの公式は、

δ＝PL³／3EI

です。ここで大切なのは、P、L、E、Iの単位をそろえてから代入することです。今回は長さをmmに統一して計算します。

諸条件を代入する際に、単位をmmに統一してくださいね。たわみは、下記です（途中計算は省略します）。

δ＝PL³／3EI＝(10.0×10³×5000³)／(3×2.05×10⁵×1810×10⁴)

＝112mm

10cm以上たわみがあります。変形制限はL/300＝5000/300＝16.6mmなので、たわみが随分と大きいです。よって、梁の断面を大きくします。

たわみの計算は、公式を覚えれば代入するだけです。但し、代入する値が多いので、単位を間違えないよう注意してください。単位を間違えると、見当はずれの値が算定されます。※単位については下記の記事が参考になります。

SI単位系とは｜7つの基本単位と建築で使う組立単位・変換方法を解説

たわみとたわみ曲線の関係

梁がたわむとき、部材は下図のような曲線を描きます。この変形後の曲線を「たわみ曲線」といいます。

梁がたわむときに生じるたわみ曲線

たわみ曲線は、梁が荷重を受けたときに、どの位置でどれだけ変形するかを表す曲線です。前述した、たわみの公式は「たわみ曲線」とたわみの関係より求めています。

たわみ曲線は、積分を使い求めます。下記に単純梁（集中荷重作用時）のたわみ曲線を示します。

単純梁のたわみ曲線を微分方程式から求める式

※今回はたわみ曲線の誘導を省略します。誘導法が気になる方は、下記が参考になります。

梁のたわみを求める方法｜単純梁・片持ち梁の公式と計算手順

たわみ曲線は、荷重条件、境界条件（支点条件）で変わります。

たわみとたわみ角の関係

たわみは、梁が元の位置から下側へ変形する量です。一方、たわみ角は、梁がたわむときに生じる「傾き」のことです。

梁がたわむとき、梁は元の状態に対して「ある角度」をなしています。この角度を「たわみ角」といいます。

梁がたわむときに生じるたわみ角

ピン支点、ローラー支点は、「回転を拘束しない」ので、荷重が作用すると角度が生じます。

固定支点は、「回転を拘束」します。よって、荷重が作用しても、たわみ角は生じません（※もちろん、たわみは生じます）。

たわみ角の公式と計算法

たわみ角は、梁がたわんだときに生じる部材の傾きです。たわみ曲線の傾きを考えると、たわみ角を求めることができます。

たわみ角の公式を下記に示します。

集中荷重作用時のたわみ角の公式

等分布荷重作用時のたわみ角の公式

たわみ角も、荷重条件、境界条件により異なる値を示します。たわみ角については下記の記事が参考になります。

たわみ角とは？公式・単位（rad）・例題で学ぶ計算法

たわみと基礎用語

たわみに関する基礎用語を整理しました。たわみ、たわみ角、曲率、境界条件、弾性荷重法は、それぞれつながりのある用語です。用語の意味がわからないとき、参考にしてください。

たわみ

梁に荷重が作用した際に生じる変位のこと。たわみの計算は、構造設計で重要です。

たわみ角

梁に荷重が作用した際、支点や部材に生じる角度のこと。たわみ量が「どれだけ変形したか」を表すのに対して、たわみ角は「どれだけ傾いたか」を表します。

たわみ角とは？公式・単位（rad）・例題で学ぶ計算法

曲率

たわみ角θの変化率のこと。梁の曲がり具合を考えるときに使う用語です。

曲率を表す式とは？たわみの微分方程式との関係をわかりやすく解説

境界条件

支点の条件。ピン支点、ローラー支点、固定支点などのことです。境界条件が変わると、たわみやたわみ角の公式も変わります。

支点とは？意味・種類の違い【図解】｜ローラー・ピン・固定端

弾性荷重法

弾性荷重法は、曲げモーメント図を求め、その曲げモーメントを荷重として梁に作用させます。この荷重を｢弾性荷重｣といいます。弾性荷重を作用させた際、せん断力、曲げモーメントがたわみ角、たわみです。

弾性荷重法の計算方法

混同しやすい用語

たわみ（δ）

荷重によって梁やスラブが元の位置から変形する量のこと。梁では、主に下側への変形量として扱います。曲げ剛性が大きいほど、スパンが短いほど小さくなります。

変位

構造物のある点が荷重によって移動する量の総称です。たわみは変位の一種で、梁やスラブの曲げ変形を考えるときに使います。

たわみの基礎用語を整理した表を示します。

用語	記号	意味・単位
たわみ	δ（デルタ）	荷重による梁・スラブの変形量。主にmm・cmで表す
曲げ剛性	EI	ヤング率E×断面二次モーメントI。曲げにくさを表す
たわみ角	θ（シータ）	梁がたわむときに生じる傾き。単位はrad