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たわみ（撓み）とは？1分でわかる意味、求め方、公式、単位、記号、計算法

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たわみ（撓み）は、重さにより水平部材が元状態から「変形」することです。梁やスラブはたわみに注意します。今回はたわみの意味、求め方、公式、単位、たわみの記号と計算法について説明します。※たわみの計算については下記の記事が参考になります。

梁のたわみを求める方法

また、部材がたわみとたわみ角を形成します。たわみ角については下記が参考になります。

たわみ角とは？1分でわかる意味、公式、単位、例題から学ぶ計算法

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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たわみとは？

たわみは、重さ（荷重）により水平部材（梁やスラブなど）が変形することです。下図をみてください。梁に荷重をかけています。荷重が作用すると、梁は下側に変形します。

これが、たわみです。

たわみを求めることは、重要な構造計算の１つです。例えば、梁が応力に対して問題無くても、たわみが大き過ぎれば、歩くことができません。

よって、たわみはできる限り「小さくすること」が大切です。建築基準法、各種計算規準より、たわみは下記の値に抑えます。

δ＝Ｌ／250（Ｌ／300）以下

δはたわみ、Ｌは梁の有効長さ、250は鉄筋コンクリート部材の値、300は鉄骨部材の値です。上記のたわみの制限を、「変形制限」「使用上の支障が起こらないことの確認」といいます。

梁の有効長さについては下記が参考になります。

有効長さとは？1分でわかる意味、建築、溶接、梁のたわみと構造

では具体的に、梁のたわみの公式と求め方を勉強しましょう。

たわみの公式と求め方

たわみの公式を下記に示します。

上図は一般的な梁のたわみの公式です。荷重条件、境界条件を与えた主要な梁のたわみの公式を、下記に示します。

単純梁（中央集中荷重）　　δ＝PL³／48EI

単純梁（等分布荷重）　　　δ＝5wL⁴／384EI

片持ち梁（先端集中荷重）　δ＝PL³／3EI

片持ち梁（等分布荷重）　　δ＝wL⁴／8EI

上記4つの公式は、構造設計の実務で毎日使います。たわみの公式を誘導することも大切ですが、暗記もしましょう。

たわみの公式の誘導は、下記が参考になります。

梁のたわみを求める方法

たわみの公式は？1分でわかる種類、覚え方、単位、導出

たわみの単位

たわみの単位は「mm」「cm」が一般的です。「ｍ」の単位を使うことは無いので、注意してくださいね。

たわみの記号

たわみに関する記号を下記に示します。下記の記号は、たわみを求めるとき使う記号です。意味を必ず覚えてください。

δ（mm）　 　　たわみ

P（kN,N）　　　集中荷重

W（kN/m,N/m）　等分布荷重

L（m,mm）　　　部材のスパン（支点間距離）

E（N/m㎡）　　ヤング係数（弾性係数）

I（mm⁴,cm⁴） 断面二次モーメント

たわみを計算するときは、単位を合わせることを忘れないでください。下記も参考にしてくださいね。

たわみの記号は？1分でわかる記号と意味、読み方、書き方、単位、ヤング率の記号

たわみの計算法

実際に、たわみを計算します。下図をみてください。片持ち梁で、先端に集中荷重が作用しています。スパンは5.0ｍ、荷重は10.0kN、断面二次モーメントは1810cm⁴、ヤング係数は2.05×10⁵N/m㎡です。

片持ち梁で、先端に集中荷重が作用します。よって、たわみの公式は、

δ＝PL³／3EI

です。諸条件を代入する際に、単位をmmに統一してくださいね。たわみは、下記です（途中計算は省略します）。

δ＝PL³／3EI＝(10.0×10³×5000³)／(3×2.05×10⁵×1810×10⁴)

＝112mm

10cm以上たわみがあります。変形制限はＬ/300＝5000/300＝16.6mmなので、たわみが随分と大きいです。よって、梁の断面を大きくします。

たわみの計算は、公式を覚えれば代入するだけです。但し、代入する値が多いので、単位を間違えないよう注意してください。単位を間違えると、見当はずれの値が算定されます。※単位については下記の記事が参考になります。

SI単位系とは？1分でわかる意味、一覧、基本単位、変換、ニュートン

たわみとたわみ曲線の関係

梁がたわむとき、部材は下図のような曲線を描きます。この曲線を「たわみ曲線」といいます。

前述した、たわみの公式は「たわみ曲線」とたわみの関係より求めています。たわみ曲線は、積分を使い求めます。下記に単純梁（集中荷重作用時）のたわみ曲線を示します。

※今回はたわみ曲線の誘導を省略します。誘導法が気になる方は、下記が参考になります。

梁のたわみを求める方法

たわみ曲線は、荷重条件、境界条件（支点条件）で変わります。

たわみとたわみ角の関係

梁がたわむとき、梁は元の状態に対して「ある角度」をなしています。この角度を「たわみ角」といいます。

ピン支点、ローラー支点は、「回転を拘束しない」ので、荷重が作用すると角度が生じます。

固定支点は、「回転を拘束」します。よって、荷重が作用しても、たわみ角は生じません（※もちろん、たわみは生じます）。

たわみ角の公式と計算法

たわみ角の公式を下記に示します。

たわみ角も、荷重条件、境界条件により異なる値を示します。たわみ角については下記の記事が参考になります。

たわみ角とは？1分でわかる意味、公式、単位、例題から学ぶ計算法

たわみと基礎用語

たわみに関する基礎用語を整理しました。用語の意味がわからないとき、参考にしてください。

たわみ

梁に荷重が作用した際に生じる変位のこと。たわみの計算は、構造設計で重要です。

たわみ角

梁に荷重が作用した際、支点に生じる角度のこと。

たわみ角とは？1分でわかる意味、公式、単位、例題から学ぶ計算法

曲率

たわみ角θの変化率のこと。

曲率を表す式と理論式の誘導

境界条件

支点の条件。ピン支点、固定支点のこと。

支点とは？わかりやすい意味【図解】

弾性荷重法

弾性荷重法は、曲げモーメント図を求め、その曲げモーメントを荷重として梁に作用させます。この荷重を｢弾性荷重｣といいます。弾性荷重を作用させた際、せん断力、曲げモーメントがたわみ角、たわみです。

弾性荷重法の計算方法

まとめ

今回はたわみについて説明しました。たわみの意味、公式、計算が理解頂けたと思います。紹介した4つの公式は覚えてください。また大学の試験では、たわみの公式を誘導する問題もでるので、理解してくださいね。下記も併せて学習しましょう。

たわみの記号は？1分でわかる記号と意味、読み方、書き方、単位、ヤング率の記号

たわみ角とは？1分でわかる意味、公式、単位、例題から学ぶ計算法

たわみの公式は？1分でわかる種類、覚え方、単位、導出

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