断面二次モーメントとたわみの関係は？計算式・剛性・座屈荷重との関係

この記事の要点

断面二次モーメントIが大きいほど梁のたわみは小さくなります。

たわみδはEI（曲げ剛性）に反比例します。

等分布荷重を受ける単純梁の中央たわみはδ＝5wl⁴/(384EI)です。

断面二次モーメントは曲げ変形だけでなく、座屈荷重にも影響します。オイラー座屈荷重PCr＝π²EI/(kl)²で、Iが大きいほど座屈しにくくなります。

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断面二次モーメントとは、断面のかたさ（変形のしにくさ）を表す値です。梁のたわみや座屈荷重と断面二次モーメントが関係します。断面二次モーメントが大きいほど（部材がかたくなるため）、たわみは小さくなります。

今回は、断面二次モーメントとたわみの関係、計算式、剛性との関係について説明します。断面二次モーメントの意味は、下記が参考になります。

断面二次モーメントとたわみの関係は？

断面二次モーメントとは、断面のかたさ（変形のしにくさ）を表す値です。断面二次モーメントの意味は下記が参考になります。

断面二次モーメントIとたわみδの間には、下記の関係があります。

δはたわみ、Iは断面二次モーメント、αは荷重条件・支持条件による係数です。上式の通り、たわみと断面二次モーメントは反比例の関係です。断面二次モーメントが大きいほど、たわみは小さくなります。

梁のたわみと公式は下記が参考になります。

また、断面二次モーメントは断面の形状により値が違います。長方形の断面二次モーメントは、

I＝(bh^3)/12

ですが、円形やH形鋼の計算式は全く違います。詳細は下記をご覧ください。

断面二次モーメントは、梁のたわみや座屈と関係します。下式をみてください。これが梁のたわみを求める式です。断面二次モーメントの記号はIです。

δはたわみ、ｗは等分布荷重、Lは梁のスパン、Eは材料のヤング係数、Iは断面二次モーメントです。

たわみδと断面二次モーメントは反比例の関係です。よって、断面二次モーメントの値が大きいほど、梁のたわみは小さくなります。逆に断面二次モーメントが小さいと、梁のたわみも大きいです。

これは直感的に理解できます。下図のように、断面AとBのどちらの方が「変形しにくい（たわみが小さい）」でしょうか。直感的に断面Bです。

図　断面二次モーメントと断面の大きさ

実際に断面Bの方が、断面二次モーメントが大きいのです。

部材の剛性は、断面二次モーメントと関係します。剛性には曲げ剛性、軸剛性、せん断剛性など色々な種類があります。特に、曲げ剛性は梁のたわみと関係するので覚えましょう。詳細は下記が参考になります。

混同しやすい用語

断面二次モーメント（I）

断面のかたさを表す値。大きいほどたわみが小さくなる（反比例）。

曲げ剛性（EI）

ヤング係数と断面二次モーメントの積。たわみの計算式に直接使う。

断面二次モーメントとたわみの関係を整理した表を示します。