断面二次モーメントと図心の関係は？計算と図心を通らない断面二次モーメントの求め方
この記事の要点
断面二次モーメントの値は、基準にする軸の位置によって変わる。
図心を通る軸まわりが最小になるというのが重要な性質で、この原理を使って複合断面の計算ができる。
図心と断面二次モーメントの関係と、平行軸の定理の使い方を整理する。
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断面二次モーメントの値は、座標軸が図心を通るとき必ず最小値となります。
図心を通らない断面二次モーメントIxは「Ix=yo^2A+2yoSu+Iu」で求めます。
yo^2Aは正の値であり、Suは断面一次モーメントです。
座標軸が図心を通れば(xo,yo)=(0,0)、Su=0なのでIx=yo^2A+2yoSu+Iu=0+0+Iu= Iuですね。
今回は、断面二次モーメントと図心の関係、図心を通らない断面二次モーメントの求め方について説明します。
断面二次モーメント、図心の詳細は下記も参考になります。
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断面二次モーメントと図心の関係は？
断面二次モーメントの値は、座標軸が図心を通るとき必ず最小値となります。xy座標軸をuv座標軸に平行移動したときの任意断面の断面二次モーメントを考えます。計算は後述しますが、x軸回りの断面二次モーメントは下式で求めます。
このとき、uv座標軸を図心軸に平行移動すれば、u軸まわりの断面一次モーメントSu=0になるので
です。さらに、xy座標軸が図心を通ればyo=0となり、x軸周りの断面二次モーメントは、図心周りの断面二次モーメントIuとなります。すなわち、図心軸まわりの断面二次モーメントは常に最小値をとります。
断面二次モーメントの考え方、図心、断面一次モーメントの詳細は下記をご覧ください。
図心を通らない断面二次モーメントの求め方
具体的に図心を通らない断面二次モーメントを誘導しましょう。原点Oとその座標軸xyを考え、その座標軸が(xo,yo)だけ平行移動した座標軸uv と断面二次モーメントの関係を考えます。
x軸まわりの断面二次モーメントは
です。x軸とu軸の関係より
となります。Suはu軸まわりの断面一次モーメント、Iuはu軸まわりの断面二次モーメントです。y軸回りも同様に求めると
になります。ここに、uv座標軸を図心に平行移動することを考えます。図心では断面一次モーメントは0になるので、
以上より、xy軸から断面の図心に軸を平行移動したときのx軸、y軸まわりの断面二次モーメントは
となります。
前述したように、yo2Aおよびxo2Aは正の値であり、座標軸が図心を通ればxo=yo=0になるので、図心を通る断面二次モーメントは必ず最小値となることがわかります。
また、上式は図心から離れた位置にある断面（たとえばH形断面のフランジなど）の断面二次モーメントの算定に役立ちます。
混同しやすい用語
図心まわりの断面二次モーメント（最小値）
座標軸が図心を通るときIは最小値になる。
平行軸の定理の基準となる値。
図心から離れた軸まわりの断面二次モーメント（I＋Ad2）
図心まわりのIに断面積×距離2を加えた値。
H形鋼フランジの計算で用いる。
断面二次モーメントを整理した表を示します。
| 項目 | 内容 | 備考 |
|---|---|---|
| 図心軸まわりのI | 常に最小値をとる | 平行軸の定理の基準 |
| 図心を通らないIx | Ix=yo2A+2yoSu+Iu | 断面一次モーメントSuを含む |
| 座標軸が図心を通る場合 | Su=0となりIx=Iu | H形鋼フランジ計算に活用 |
まとめ
今回は、断面二次モーメントと図心の関係について説明しました。
断面二次モーメントの値は、座標軸が図心を通るとき最小値になります。
まずは、図心を通らない断面二次モーメントの考え方を理解しましょう。
断面二次モーメント、断面一次モーメント、図心の意味など下記も勉強しましょう。
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- 2017年12月に当HPが書籍化。
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