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正方形断面の断面二次モーメント：公式a⁴/12と断面係数の計算

この記事の要点

正方形断面の断面二次モーメントは I = a⁴/12 で求まる。

長方形（I = bh³/12）の特殊ケースで、b = h = a とすれば同じ結果になる。

辺長aを決めれば一発で計算できるシンプルな公式だ。

断面係数は Z = I/y = (a⁴/12)/(a/2) = a³/6 となる。

正方形は4辺の形状が同じなため、上側と下側で断面係数が等しい「対称断面」だ。

鋼材の角パイプ断面の設計で頻繁に使う。

断面係数はZ＝a3/6であり、断面二次モーメントと断面係数は正方形断面設計の基本公式として建築士試験でも頻出の内容である。

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正方形の断面二次モーメントの公式は「a4/12」です。

aは正方形の一辺の長さです。

つまり、正方形の断面二次モーメントは「正方形の一辺の長さの4乗を12で除した値」です。

例えばa=10cmのとき、断面二次モーメント＝104/12=833cm4となります。

また、正方形の断面係数は「a3/6」でしす。

今回は、正方形の断面二次モーメントの公式と計算、断面係数の公式、長方形の値との違いについて説明します。

断面二次モーメント、断面係数の詳細は下記が参考になります。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

断面二次モーメントの足し算とは？1分でわかる意味、引き算、図心を通らない断面の断面二次モーメントは？

断面係数とは

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正方形の断面二次モーメントは？公式と計算

正方形の断面二次モーメントIの公式は


I=a^4/12


です。下図の通り、aは正方形の一辺の長さです。


正方形の断面二次モーメントの公式1


正方形の断面二次モーメントを、長方形のＩの公式から導きます。長方形の断面二次モーメントＩは「bh3/12」で算定します。※bは幅、hは高さです。


正方形は全ての辺の長さ、角度が等しい四角形です。「正方形＝全ての辺の長さが等しい長方形」と考えれば、b=a、h=aなので


正方形の断面二次モーメントの公式2


となります。


長方形の断面二次モーメント


具体的な数値を入れて正方形の断面二次モーメントを計算しましょう。一辺の長さが20cmの断面二次モーメントを求めます。


計算結果は下記の通りです。4乗の計算は面倒なので、エクセルや電卓を使いましょうね。


正方形の断面二次モーメントの公式3


断面二次モーメントの意味、長方形の断面二次モーメントの公式、導き方など下記が参考になります。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

長方形の断面二次モーメント｜bh³/12の求め方と向き

正方形の断面係数は？

正方形の断面係数Ｚの公式を下記に示します。


Z=a^3/6


「断面係数＝断面二次モーメント÷中立軸から上端(下端)までの距離」で算定します。Z=I/y=a4/12/a/2=a3/6ですね。断面係数の意味、詳細は下記をご覧ください。

断面係数とは

正方形の断面係数は？1分でわかる求め方、中空断面、正方形の断面二次モーメントは？

正方形と長方形の断面二次モーメントの違い

正方形と長方形の断面二次モーメントの違いを下記に示します。


・正方形の断面二次モーメント　⇒　Ｉ＝a4/12

・長方形の断面二次モーメント　⇒　Ｉ＝bh3/12


長方形の場合は「幅と高さ」の値が断面二次モーメントに影響します。また、断面二次モーメントは高さの３乗に比例します。よって、長方形のＩを大きくするには「高さを大きくした方が」効果的です。

混同しやすい用語

正方形の断面二次モーメント：a?/12

一辺aの正方形断面の断面二次モーメント。

長方形の公式bh3/12においてb＝h＝aとすることで導出される。

長方形の断面二次モーメントbh3/12と比べると、正方形は幅と高さが等しいため公式がシンプルになる。

長方形の断面二次モーメント：bh3/12

底辺b・高さhの長方形断面の断面二次モーメント。

高さhの3乗に比例するため、高さが重要なパラメータとなる。

正方形のa?/12と比較すると、長方形では高さhと幅bを分けて考えることがポイントで、同じ断面積でも高さが大きい方が有利となる。

試験での問われ方｜管理人の一言

試験では正方形の断面二次モーメントI＝a?/12や断面係数Z＝a3/6の公式、または長方形との比較が問われることがあります。

長方形の公式bh3/12から正方形を導く流れを理解しておくと、類似した断面（円・三角形等）の公式との関係も整理しやすくなります。

正方形の断面二次モーメントを整理した表を示します。

項目内容備考
断面二次モーメント（正方形）I = a?/12aは一辺の長さ
断面二次モーメント（長方形）I = bh3/12高さhの3乗に比例
断面係数（正方形）Z = a3/6Z = I/(a/2)で導出

まとめ

今回は、正方形の断面二次モーメントについて説明しました。

正方形の断面二次モーメントＩは「a4/12」です。

aは正方形の一辺の長さです。

また、長方形の断面二次モーメントＩは、bh3/12で計算します。

まずは断面二次モーメントの意味を理解しましょう。

下記が参考になります。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

長方形の断面二次モーメント｜bh³/12の求め方と向き

断面二次モーメントの足し算とは？1分でわかる意味、引き算、図心を通らない断面の断面二次モーメントは？

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ハナダユキヒロ

この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

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