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断面二次モーメントの導出方法は？公式の意味と慣性モーメントとの関係

この記事の要点

断面二次モーメントの公式（bh³/12）を丸暗記するだけでなく、なぜその式になるかを理解しておくと、複合断面への応用がスムーズです。

積分を使った導出は難しく見えても、考え方は慣性モーメントと同じです。

この記事では、断面二次モーメントの導出方法と、慣性モーメントとの関係を解説します。

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断面二次モーメントは物体の回転のしにくさ（慣性モーメント）に着目して、慣性モーメントを断面について考え「断面の曲げにくさ」を表した値です。

今回は断面二次モーメント導出方法、式の意味と考え方、慣性モーメントとの関係について説明します。

断面二次モーメント、断面一次モーメントの詳細は下記が参考になります。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

断面一次モーメントとは？公式・図心の求め方と計算例

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断面二次モーメントの導出方法は？式の意味と考え方、慣性モーメントとの関係

断面二次モーメントは物体の回転のしにくさ（慣性モーメント）に着目し、慣性モーメントを断面について考え「断面の曲げにくさ」を表します。

まずは慣性モーメントについて考えます。下図に示すように、点Oを中心に物体を回すことを考えます。物体A、Bのどちらが回しやすいか考えましょう。

断面二次モーメントの定義式3

直感的に質量の大きい物体Aの方が回しにくい、と感じる方が多いと思います。では下図に示す条件はどうでしょうか。物体A、Bの質量は同じですが、回転中心から物体の中心までの距離が違います。

断面二次モーメントの定義式4

上図の場合、距離の長いBの方が回しにくいと感じたはずです。

さて、物体の質量をm、回転中心から物体の中心までの距離（回転半径）をrとするとき、mとrの２乗の積を慣性モーメントといいます。

さらに、物体を回転させようとする力Mと慣性モーメントＩの関係は下式です。θ''(t)は角加速度で回転角の２回微分で求められます。

上式より慣性モーメントIが大きくなるほど角加速度は小さくなります（回転がゆっくりになる）。

つまり、慣性モーメントの大きい方が回しにくいのです。

前述した慣性モーメントを、断面の回転のしやすさに置き換えて考えましょう。

慣性モーメントはI＝mr²で求められます。

断面について考えるのですから、m(＝ρAL)の密度ρと長さLを無視すれば、質量mは断面積Ａに置き換えできます。また、回転中心を任意のx軸、y軸と考え、軸から断面の図心までの距離をx、yとすれば、x軸、y軸まわりの回転のしやすさ、すなわち曲げやすさを表す下式が得られます。

断面二次モーメントの導出方法5

上式より、Iはx、yの２乗に比例するので、断面積の大きさよりも軸から図心までの距離を離すほうが、効率的に曲げにくい断面とできることがわかります。次に、回転軸を図心として任意断面の曲げやすさを考えます（下図）。

断面二次モーメントの導出方法6

任意断面の微小断面積をdAとし、x軸から微小断面の図心までの距離をyとします。このとき微小断面の曲げやすさは下式で表します。

全断面の曲げやすさを求めるには、全断面における上式の総和すなわち積分すればよいので

断面二次モーメントの導出方法8

が得られます。上式をx軸まわりの断面二次モーメントといいます。同様にy軸まわりの断面二次モーメントは

断面二次モーメントの導出方法9

となります。

また、矩形断面や矩形を組合せた断面形状では下式の方が実用的です。

断面二次モーメントの導出方法10

上式より断面二次モーメントは、断面の曲げやすさ（曲げにくさ）を表します。単位は長さの4乗なので、mm4やcm4等を用います。

上式より、図心に近い断面は断面二次モーメントの大きさにあまり寄与しません。このことから、図心に近い断面は削ぎ落して軽量化し、図心からできるだけ離した位置に断面を配置する（せいを大きくする）と効率的な断面が得られる、という発想が生まれます。

鋼のような加工性に優れた材料では、箱形やH形、I形など様々な形状の断面があります。また、断面二次モーメントは梁のたわみ、座屈、曲げ応力度などあらゆる場面で使います。

混同しやすい用語

断面二次モーメント

断面の「曲げにくさ」を表す値。

I=∫y2dAで定義し、単位はmm4。

構造計算で必須の断面量。

慣性モーメント

物体の「回転しにくさ」を表す物理量。

断面二次モーメントは慣性モーメントの概念を断面に適用したもの。

断面二次モーメントの導出方法を整理した表を示します。

項目	内容	備考
慣性モーメント	I=mr2（質量×回転半径の二乗）。物体の回転しにくさ。	断面二次モーメントの基礎概念
断面二次モーメントの定義	Ix=∫y2dA（断面積×距離の二乗の積分）	曲げにくさ（曲げやすさ）を表す
長方形の公式	Ix=bh3/12	図心軸まわりの値