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断面二次モーメントの導出方法は？式の意味と考え方、慣性モーメントとの関係
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断面二次モーメントは物体の回転のしにくさ（慣性モーメント）に着目して、慣性モーメントを断面について考え「断面の曲げにくさ」を表した値です。今回は断面二次モーメント導出方法、式の意味と考え方、慣性モーメントとの関係について説明します。断面二次モーメント、断面一次モーメントの詳細は下記が参考になります。
断面二次モーメントとは？1分でわかる意味、計算式、h形鋼、公式、たわみとの関係
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断面二次モーメントの導出方法は？式の意味と考え方、慣性モーメントとの関係
断面二次モーメントは物体の回転のしにくさ（慣性モーメント）に着目し、慣性モーメントを断面について考え「断面の曲げにくさ」を表します。
まずは慣性モーメントについて考えます。下図に示すように、点Oを中心に物体を回すことを考えます。物体A、Bのどちらが回しやすいか考えましょう。
直感的に質量の大きい物体Aの方が回しにくい、と感じる方が多いと思います。では下図に示す条件はどうでしょうか。物体A、Bの質量は同じですが、回転中心から物体の中心までの距離が違います。
上図の場合、距離の長いBの方が回しにくいと感じたはずです。
さて、物体の質量をm、回転中心から物体の中心までの距離（回転半径）をrとするとき、mとrの２乗の積を慣性モーメントといいます。
さらに、物体を回転させようとする力Mと慣性モーメントＩの関係は下式です。θ''(t)は角加速度で回転角の２回微分で求められます。
上式より慣性モーメントIが大きくなるほど角加速度は小さくなります（回転がゆっくりになる）。つまり、慣性モーメントの大きい方が回しにくいのです。
前述した慣性モーメントを、断面の回転のしやすさに置き換えて考えましょう。慣性モーメントはI＝mr2で求められます。
断面について考えるのですから、m(＝ρAL)の密度ρと長さLを無視すれば、質量mは断面積Ａに置き換えできます。また、回転中心を任意のx軸、y軸と考え、軸から断面の図心までの距離をx、yとすれば、x軸、y軸まわりの回転のしやすさ、すなわち曲げやすさを表す下式が得られます。
上式より、Iはx、yの２乗に比例するので、断面積の大きさよりも軸から図心までの距離を離すほうが、効率的に曲げにくい断面とできることがわかります。次に、回転軸を図心として任意断面の曲げやすさを考えます（下図）。
任意断面の微小断面積をdAとし、x軸から微小断面の図心までの距離をyとします。このとき微小断面の曲げやすさは下式で表します。
全断面の曲げやすさを求めるには、全断面における上式の総和すなわち積分すればよいので
が得られます。上式をx軸まわりの断面二次モーメントといいます。同様にy軸まわりの断面二次モーメントは
となります。
また、矩形断面や矩形を組合せた断面形状では下式の方が実用的です。
上式より断面二次モーメントは、断面の曲げやすさ（曲げにくさ）を表します。単位は長さの4乗なので、mm4やcm4等を用います。
上式より、図心に近い断面は断面二次モーメントの大きさにあまり寄与しません。このことから、図心に近い断面は削ぎ落して軽量化し、図心からできるだけ離した位置に断面を配置する（せいを大きくする）と効率的な断面が得られる、という発想が生まれます。
鋼のような加工性に優れた材料では、箱形やH形、I形など様々な形状の断面があります。また、断面二次モーメントは梁のたわみ、座屈、曲げ応力度などあらゆる場面で使います。
まとめ
今回は断面二次モーメントの導出について説明しました。断面二次モーメントは物理で習う慣性モーメントを「断面」について考えた「断面の曲げにくさ」を表す値です。長方形断面の断面二次モーメント、公式、軸から離れた断面二次モーメントの導出など下記も参考になります。
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