建築学生が学ぶ構造力学

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弾性荷重法

・概要

弾性荷重法を勉強しましょう。弾性荷重法はたわみを求める方法の一種であり、不静定梁の問題を解くときも便利です。

さて、まず弾性荷重とは何か?これを求めてみます。まず、次の微分方程式を比較します。 たわみを求める弾性曲線の微分方程式は、
弾性曲線の微分方程式
です。また、曲げモーメントを受けるはりのつり合い方程式は、
曲げモーメントを受けるはりのつり合い方程式
でしたね。
2つの式の仮定を比較します。すると、分布荷重から曲げモーメントを求める仮定と、曲げモーメントからたわみを求める仮定は非常に良く似ていますね。

目的はたわみを求めることですから、曲げモーメントを求めるときの分布荷重を
曲げモーメントを求めるときの分布荷重
と表現し、以上の式を荷重として作用させ断面力を求めることで、たわみ角、たわみを求めることができます。このとき、仮定した荷重を「弾性荷重」と呼びます。 また、境界条件も変化し、実際のはりの条件にたいして共役ばりといいます。

共役ばりに関しては、せっかくですので覚えておきましょう。以下に示します。
・固定端←→自由端
・単純支持梁←→単純支持梁
ローラー支持←→ピン支持
ピン支持←→ローラー支持

既に皆さんは、弾性曲線の微分方程式を解いているわけですから、弾性荷重法も わけありません。演習問題から解いていきましょう。

単純支持梁
単純支持梁
まず、曲げモーメントを求めます。
曲げモーメントMx = Px /2
及びL/2< Lの場合
曲げモーメントMx =P (L−x)/2
よって、以上の曲げモーメントを弾性荷重として作用させます。ということは、
曲げモーメントを弾性荷重として作用させる
こういう三角形の分布荷重が作用していることになりますね。
三角形の分布荷重を集中荷重に変換します。よって、
三角形の分布荷重を集中荷重に変換する
という集中荷重が作用していますね(分布荷重は面積を計算→集中荷重)。
まず、反力を求めます。また、本来は1/EIを掛けたものが「弾性荷重」ですが、
計算が煩雑になるので、省略し後で掛ける方法が良く用いられます。
RA=PL3/16
RB= PL3/16
よって、
弾性荷重法
です。計算過程は断面力の求め方と同じなので、省略します。

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