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弾性荷重法の計算方法

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弾性荷重法を勉強しましょう。弾性荷重法はたわみを求める方法の一種であり、不静定梁の問題を解くときも便利です。


さて、まず弾性荷重とは何か?これを求めてみます。まず、次の微分方程式を比較します。たわみを求める弾性曲線の微分方程式は、


弾性曲線の微分方程式


です。また、曲げモーメントを受けるはりのつり合い方程式は、


曲げモーメントを受けるはりのつり合い方程式


でしたね。2つの式の仮定を比較します。すると、分布荷重から曲げモーメントを求める仮定と、曲げモーメントからたわみを求める仮定は非常に良く似ていますね。


目的はたわみを求めることですから、曲げモーメントを求めるときの分布荷重を


曲げモーメントを求めるときの分布荷重


と表現し、以上の式を荷重として作用させ断面力を求めることで、たわみ角、たわみを求めることができます。このとき、仮定した荷重を「弾性荷重」と呼びます。また、境界条件も変化し、実際のはりの条件にたいして共役ばりといいます。


共役ばりに関しては、せっかくですので覚えておきましょう。以下に示します。


・固定端←→自由端

・単純支持梁←→単純支持梁

・ローラー支持←→ピン支持

・ピン支持←→ローラー支持

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既に皆さんは、弾性曲線の微分方程式を解いているわけですから、弾性荷重法もわけありません。演習問題から解いていきましょう。


【単純支持梁】


単純支持梁


まず、曲げモーメントを求めます。


曲げモーメントMx = Px /2


及びL/2<Lの場合


曲げモーメントMx =P (L-x)/2


よって、以上の曲げモーメントを弾性荷重として作用させます。ということは、


曲げモーメントを弾性荷重として作用させる


こういう三角形の分布荷重が作用していることになりますね。三角形の分布荷重を集中荷重に変換します。よって、


三角形の分布荷重を集中荷重に変換する


という集中荷重が作用していますね(分布荷重は面積を計算→集中荷重)。


まず、反力を求めます。また、本来は1/EIを掛けたものが「弾性荷重」ですが、計算が煩雑になるので、省略し後で掛ける方法が良く用いられます。


RA=PL3/16

RB= PL3/16


よって、


弾性荷重法


です。計算過程は断面力の求め方と同じなので、省略します。

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