弾性荷重法の計算方法

この記事の要点

弾性荷重法はM/EI図を等価な分布荷重として仮想梁に載せることで、たわみ角・たわみを積分なしに求める方法です。実際の梁の境界条件に対応した「共役梁」を使う点が特徴で、固定端は自由端に、単純支持は単純支持に変換して解きます。

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弾性荷重法を勉強しましょう。弾性荷重法はたわみを求める方法の一種であり、不静定梁の問題を解くときも便利です。

さて、まず弾性荷重とは何か？これを求めてみます。まず、次の微分方程式を比較します。たわみを求める弾性曲線の微分方程式は、

弾性曲線の微分方程式

です。また、曲げモーメントを受けるはりのつり合い方程式は、

曲げモーメントを受けるはりのつり合い方程式

でしたね。２つの式の仮定を比較します。すると、分布荷重から曲げモーメントを求める仮定と、曲げモーメントからたわみを求める仮定は非常に良く似ていますね。

目的はたわみを求めることですから、曲げモーメントを求めるときの分布荷重を

と表現し、以上の式を荷重として作用させ断面力を求めることで、たわみ角、たわみを求めることができます。このとき、仮定した荷重を｢弾性荷重｣と呼びます。また、境界条件も変化し、実際のはりの条件にたいして共役ばりといいます。

共役ばりに関しては、せっかくですので覚えておきましょう。以下に示します。

・固定端←→自由端

・単純支持梁←→単純支持梁

・ローラー支持←→ピン支持

・ピン支持←→ローラー支持

既に皆さんは、弾性曲線の微分方程式を解いているわけですから、弾性荷重法もわけありません。演習問題から解いていきましょう。

【単純支持梁】

単純支持梁

まず、曲げモーメントを求めます。

曲げモーメントMx = Px /2

及びL/2＜Lの場合

曲げモーメントMx =P (L－x)/2

よって、以上の曲げモーメントを弾性荷重として作用させます。ということは、

曲げモーメントを弾性荷重として作用させる

こういう三角形の分布荷重が作用していることになりますね。三角形の分布荷重を集中荷重に変換します。よって、

三角形の分布荷重を集中荷重に変換する

という集中荷重が作用していますね（分布荷重は面積を計算→集中荷重）。

まず、反力を求めます。また、本来は1/EIを掛けたものが｢弾性荷重｣ですが、計算が煩雑になるので、省略し後で掛ける方法が良く用いられます。

RA=PL3/16

RB= PL3/16

よって、

弾性荷重法

です。計算過程は断面力の求め方と同じなので、省略します。

混同しやすい用語

「弾性荷重法」と「共役梁法」

弾性荷重法はM/EIを等価な荷重として仮想梁に載せ、たわみ角・たわみを求める方法。

「たわみ角法」と「弾性荷重法」

たわみ角法は節点の回転角と変位を未知数として連立方程式を立てる解法。弾性荷重法はM/EI図からたわみを求める方法で、積分なしに解ける。

弾性荷重法計算例

条件	値
構造	単純梁（両端ピン）、スパン L=6 m
荷重	等分布荷重 w=10 kN/m
曲げ剛性	EI（一定）

曲げモーメント図（BMD）：M(x) = wL/2・x − wx2/2 = 5x−5x2（kN・m）

M/EI分布を「仮想梁への荷重」として扱う（弾性荷重法の基本概念）

仮想梁の中央モーメント（たわみの最大値）：

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5×10×6⁴/(384EI) = 33,750/384EI = 87.9/EI (kN・m3)

微分方程式法 vs 弾性荷重法比較表

比較項目	微分方程式法	弾性荷重法（モール法）
アプローチ	EI・d2y/dx2=M(x) を積分	M/EI図を荷重として仮想梁に作用させる
たわみ角の対応	dy/dx を積分定数から求める	仮想梁の反力（支点力）に対応
たわみの対応	yを積分で求める	仮想梁の曲げモーメントに対応
不連続荷重への対応	区間ごとに積分が必要で煩雑	荷重を図形的に扱えるため対応しやすい

よくある誤解

×誤り「弾性荷重法では実際の梁の支点条件をそのまま使う」→ ○正解弾性荷重法では「仮想梁」の支点条件が必要。実梁のピン支点→仮想梁もピン支点（たわみ角≠0、たわみ=0に対応）
×誤り「仮想梁の反力がたわみに対応する」→ ○正解仮想梁の反力（支点力）がたわみ角に、仮想梁の曲げモーメントがたわみに対応する
×誤り「弾性荷重法はEIが変化する梁には使えない」→ ○正解 EIが変化する場合でも、M/EI図を正確に求めて仮想荷重として作用させれば弾性荷重法を適用できる

一問一答

Q. 弾性荷重法（モール法）における「仮想梁」の役割は何か？

A. 実梁のM/EI図を荷重として受ける架空の梁。仮想梁に作用する「荷重」（M/EI）から反力（=たわみ角）や曲げモーメント（=たわみ）を梁の解法で直接求められる

Q. 等分布荷重を受ける単純梁の最大たわみを弾性荷重法で求める際の仮想荷重の形状は？

A. M/EI図は中央が最大の放物線形（下凸の2次曲線）分布。これを仮想梁への荷重として面積と図心を求め、仮想梁のモーメントとして中央たわみを計算する

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理解度チェック

弾性荷重法とはどのような方法か説明してください。

答えを見る

弾性荷重法は、M/EI図を等価な分布荷重として仮想梁（共役梁）に載せることで、たわみ角・たわみを積分なしに求める方法です。曲げモーメントを求める仮定と、曲げモーメントからたわみを求める仮定が似ていることを利用します。

弾性荷重法の共役梁では、支持条件はどう変換されますか。

答えを見る

実際の梁の境界条件に対応して、固定端↔自由端、単純支持梁↔単純支持梁、ローラー支持↔ピン支持、ピン支持↔ローラー支持のように変換します。

弾性荷重法で、仮想梁の反力・曲げモーメントは実梁の何に対応しますか。

答えを見る

仮想梁の反力（支点力）が実梁のたわみ角に、仮想梁の曲げモーメントが実梁のたわみに対応します。M/EI図を正確に求めれば、EIが変化する梁にも適用できます。

この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学わかる構造力学（改訂版）

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