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梁のせん断応力度

梁の曲げ応力度を求めたので、次はせん断応力度について考えてみましょう。せん断力や、曲げ応力度が理解できていない人は、下記の記事を参考にしてください。


さて、梁に荷重を加えると、曲げモーメントとせん断応力が生じます。これは大丈夫ですよね。せん断応力によって、梁は2つの変形をしまします。まず、鉛直方向のせん断応力によるずれと水平方向のせん断応力によるずれです。少し、極端に図で表しましょう。

こんな感じですね。では、微小要素を考えてせん断応力度を考えてみましょう。まず、微小要素には曲げモーメントとせん断応力が作用しています。下図に示しているように、右と左の断面で生じている曲げモーメントの大きさは異なりますね(当然ですよね、わからない人はモーメント図からやり直しです)。

以上の図から、曲げ応力度は

ですし、M+dMが作用している面の曲げ応力度は

しかし、このままでは、あきらかに力は釣り合っていませんよね??何か忘れていませんか?そうです水平方向のせん断力が作用していましたね。では次に、先ほどの微小要素をスパっと切ってみましょう。

さて、この切った断面での力のつり合いを考えてみます。まず、矢印で示しているようにせん断応力度τが生じています。また、曲げ応力度が発生していましたよね。この両者の応力度を力に変換してみます。下図を見てください。これで、なんとか微小要素の力は釣り合ってくれそうです。

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で、まだ曲げ応力度は力に変換されていません。微小面積dAについて、図のスパッと切りだした要素分、積分すると、力が求まりますね。

ですね。さて、あとは力のつり合いを考えると、

求めたいのは、せん断応力度ですので、

です。

ここまで、辿りつけば後は式の変換です。

となり、

は断面一次モーメントですので、Sと置きます。また、

は、せん断力でした。よって、せん断応力度の式は

です。


まとめ

今回は、梁のせん断応力度について説明しました。また、せん断力に関しては下記の記事も参考になります。併せて勉強に役立ててくださいね。

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