梁のせん断応力度の計算方法｜断面形状別の分布と許容値

この記事の要点

梁の設計で曲げは意識しているのに、せん断応力度をチェックし忘れているケースを見ることがある。

特に短スパンの梁や支点近傍では、せん断力が支配的になることがある。

せん断応力度の計算式はτ=VQ/(Ib)。

Qは断面一次モーメント、Iは断面二次モーメント、bは幅だ。

矩形断面では中立軸で最大値になるが、I形断面ではウェブに集中する分布になる。

せん断応力度の導出には微小要素の力のつり合いを使い、τ=VQ/(Ib)の公式で算定できます。

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梁の曲げ応力度を求めたので、次はせん断応力度について考えてみましょう。せん断力や、曲げ応力度が理解できていない人は、下記を参考にしてください。

さて、梁に荷重を加えると、曲げモーメントとせん断応力が生じます。せん断応力によって、梁は２つの変形をしまします。まず、鉛直方向のせん断応力によるずれと水平方向のせん断応力によるずれです。少し、極端に図で表しましょう。

※曲げモーメント、鉛直と水平については、下記が参考になります。

では、微小要素を考えてせん断応力度を考えてみましょう。まず、微小要素には曲げモーメントとせん断応力が作用しています。下図に示すように、右と左の断面で生じている曲げモーメントの大きさは異なりますね。

以上の図から、曲げ応力度は

です。M+dMが作用している面の曲げ応力度は

しかし、このままでは、あきらかに力は釣り合っていません。水平方向のせん断力が作用していましたね。では次に、先ほどの微小要素をスパっと切ってみましょう。

さて、この切った断面での力のつり合いを考えてみます。

まず、矢印で示しているようにせん断応力度τが生じています。

また、曲げ応力度が発生していましたよね。

この両者の応力度を力に変換してみます。

下図を見てください。

これで、なんとか微小要素の力は釣り合ってくれそうです。

まだ曲げ応力度は力に変換されていません。微小面積dAについて、図のスパッと切りだした要素分、積分すると、力が求まりますね。

ですね。さて、あとは力のつり合いを考えると、

求めたいのは、せん断応力度ですので、

です。ここまで辿りつけば、あとは式の変換です。

となり、

は断面一次モーメントですので、Sと置きます。また、

は、せん断力でした。よって、せん断応力度の式は

です。※断面一次モーメントは下記が参考になります。

混同しやすい用語

曲げ応力度（σ）

梁に曲げモーメントが作用するとき、断面の上縁・下縁で最大となり、中立軸（図心）でゼロの線形分布を示す。

せん断応力度に対して、断面縁で最大・中立軸でゼロという逆の分布を持つ点で区別できる。

せん断応力度（τ）

梁にせん断力が作用するとき、断面の中立軸（図心）付近で最大となり、断面縁でゼロの放物線分布を示す。

曲げ応力度に対して、最大値が中立軸側にある点が特徴で、τ=VQ/(Ib)で算定する。

梁のせん断応力度を整理した表を示します。

項目	内容	備考
せん断応力度の分布	断面中立軸付近で最大、断面縁でゼロの放物線分布	曲げ応力度とは逆の分布形状
せん断応力度の公式	τ＝VQ/（Ib）	V：せん断力、S：断面一次モーメント、I：断面二次モーメント、b：幅
鉛直・水平のせん断	梁には鉛直方向と水平方向の両方にせん断応力が生じる	微小要素の力のつり合いから導出される