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梁のたわみを求める方法

梁のたわみを求めてみましょう。構造設計で重要なことは、構造部材にどんな応力が作用するのか、また変形(たわみ)はどのくらいか?等です。部材の変形が大きければ、その建物が安全とは言えませんね。


今回は梁のたわみの公式を、微分方程式から解くことを目的としています。また、ここで紹介されるたわみの導出方法は理解し、たわみの公式は暗記すると便利です。


なお、今回の記事をスムーズに読むためには、下記の記事も必須項目ですから是非参考になさってください。


微分方程式からたわみを求める

今回は最も簡単な例として、「梁の中央に集中荷重が作用し、境界条件は両端ピン(片側ローラー)」のモデルで解きます。また、当サイトでは様々な荷重条件、境界条件によるたわみも説明しています。是非、下記の記事を参考にしてください。


さて、梁のたわみを求める式は曲げモーメントと曲率の関係で示した通りです。微分方程式は次のように、

たわみを求める式


です。以下に梁のたわみを求める手順を示します。


以上のような手順で、たわみを求めることができます。既に曲げモーメントを求める方法は

説明していますので、ここは省きますね。


・ケース1(単純梁)

単純梁のたわみ


[0< L/2の場合]

曲げモーメントMx = Px /2


[及びL/2< Lの場合]

曲げモーメントMx =P (L−x)/2

中央に荷重が作用しているので、0< L/2の場合とL/2< Lの場合を考えて微分方程式を解きます。


[0< L/2の場合]

まず、微分方程式に曲げモーメントを代入すると、

微分方程式に曲げモーメントを代入する


たわみを求めたいわけですから、積分を行います。よって、

微分方程式を積分する

です。


[L/2< Lの場合]

Mx=P (L−x)/2

まず、微分方程式に曲げモーメントを代入すると、

L/2< Lの場合

たわみを求めたいわけですから、置換積分を行います。よって、

置換積分

また、同様の手順で置換積分を行います。

置換積分2

です。


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・未知数を境界条件と連続条件で解く

未知数が4つありますので、境界条件と連続条件を用いて解きます。まず、支点にはたわみは発生しないので境界条件は以下のように、

x=0,y1=0(0< L/2の場合)

x=L,y2=0 (L/2< Lの場合)

境界条件

です。

連続条件は次のように、荷重より左側のたわみy1と荷重より右側のたわみy2に共通した条件です。いずれの場合も長さL/2とき、たわみ、たわみ角ともに同様の値です。よって、

x=L/2, y1= y2

x= L/2,θ1=θ2

連続条件

もうひとつの連続条件を考えます。

連続条件2

となりました。

A、Cを含む2式を連立方程式で解きましょう。

連立方程式

です。以上のように、境界条件と連続条件から未知数を求めることが出来ました。

よって、たわみの式は次の通りです。

[0< L/2の場合]

たわみの式


・たわみの最大値

さて、部材に荷重が加われば全体にたわみは生じます。では、たわみの最大値はどの位置で発生するのでしょうか?

これは数学的に求める方法があります。いわゆる極大値、極小値を求める方法ですが、以下に手順を示します。

という感じです。

では、具体的に求めてみましょう。

たわみの最大値

つまり、x=L/2の地点で最大のたわみが発生するということです。

たわみの式にx=L/2を代入して、たわみの最大値を求めてみましょう。

たわみの最大値2

です。


まとめ

今回は、単純梁のたわみについて算定しました。公式の暗記も重要ですが、大切なことは公式を求める過程です。次回は少し荷重条件を変えた、梁のたわみを算定しましょう。下記のリンクから是非読んでくださいね。

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