曲げモーメントと曲率の関係｜たわみの微分方程式の導出

この記事の要点

梁のたわみを計算するとき、「なぜあの公式が成り立つのか」を理解したくて曲率の定義まで遡ったことがある。

曲率κは曲線の曲がり具合を表す量で、梁ではM=EIκとして曲げモーメントに直接比例する。

この関係式を積分すれば、たわみの方程式が導ける。

公式を丸暗記するより、導出過程を追っておくと、境界条件の設定で迷ったときに復元できる。

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曲げモーメントと曲率の関係今回は、前回から引き続きたわみを求める式を誘導します。前回は梁が変形したときの、曲率を表す式を展開しました。下記が参考になります。

曲率を表す式とは？たわみの微分方程式との関係をわかりやすく解説

前回の記事で説明したように、たわみを求める微分方程式は曲率と曲げモーメントの関係からなるものです。前回は、曲率を表す式を求めたので、次は曲げモーメントと関連付けてたわみの式を導出します。

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たわみを求める微分方程式の展開

純曲げを受けて変形した梁を考えてみましょう。

少し図が複雑になってわかりにくいですが、まず梁に曲げモーメントが作用してたわみが生じた場合を考えます。

このとき、下の図のように変形し、さらに元々の微小長さdxから、赤点線のように変形しΔdxの変位が生じます。

模式的に示した図を次に示します。

この模式図を見れば、いわゆるdx→Δdxから水平変位をおこしたように見えますね。

以上の図から、水平方向の変位から歪を求めると

ε=Δdx/dx

です。しかし、ちょっと見方を変えてみると曲率半径p、たわみyでも、同じように歪を求めることができるので、

ε=Δdx/dx=y/p

ですね。

また、フックの法則から

σ=Eε=Ey/p

となり、たわみが生じた点yにおいて以上のような応力が生じていることになります。

この応力は、作用させた曲げモーメントMと等しいと考えることができますので、

中立軸周りのモーメントのつり合いを考えると、

中立軸周りのモーメントのつり合い

中立軸周りのモーメントのつり合い２

です。

以上の関係式を曲率を表す式と関係づけると、

曲率を表す式との関係

ここで、

(dy/dx)2≒0

とすれば、

たわみを求める微分方程式

となり、この式がたわみを求める微分方程式です。

混同しやすい用語

「曲率」と「曲げモーメント」

曲率（κ）は部材の曲がりの程度を表す値。

曲率半径の逆数（κ＝1/R）で表される。

「曲げ剛性（EI）」と「曲げモーメント（M）」

曲げ剛性EIはヤング率Eと断面二次モーメントIの積で、曲げに対する変形しにくさを表す。

M＝EI×κの関係で曲げモーメントと曲率がつながる。

曲げモーメントと曲率の関係を整理した表を示します。

項目	内容	備考
基本関係式	M = EI × κ（曲率κ = M / EI）	E：ヤング係数、I：断面二次モーメント
曲率半径との関係	κ = 1/R（Rは曲率半径）	曲率が大きいほど曲率半径は小さい
たわみ方程式への展開	EI × d2y/dx2 = M（微分方程式）	この式を積分してたわみ角・たわみを求める

まとめ

今回は、梁のたわみの公式を算定する過程で、曲げモーメントと曲率を関係づけました。次回は、いよいよ梁のたわみの式を誘導します。次回が特に重要です。是非、下記の記事から進んでください。

梁のたわみを求める方法｜単純梁・片持ち梁の公式と計算手順

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理解度チェック

曲げモーメントと曲率の基本関係式を答えてください。

答えを見る

M＝EI×κ です（Mは曲げモーメント、Eはヤング係数、Iは断面二次モーメント、κは曲率）。曲げモーメントは曲率に直接比例し、EI（曲げ剛性）は曲げに対する変形しにくさを表します。

たわみyにおける応力をひずみとフックの法則からどう導きますか。

答えを見る

水平方向の変位からひずみは ε＝Δdx/dx＝y/p（pは曲率半径）と表せます。フックの法則 σ＝Eε から σ＝Ey/p となり、たわみが生じた点yに生じる応力が求まります。

たわみを求める微分方程式はどう表されますか。

答えを見る

EI×d²y/dx²＝M です。曲率と曲げモーメントの関係（M＝EIκ）を曲率を表す式と関係づけ、(dy/dx)²≒0 と近似して導かれます。この式を積分してたわみ角・たわみを求めます。

この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学わかる構造力学（改訂版）

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たわみを求める微分方程式の展開

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