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曲げモーメントと曲率の関係,理論式の展開

今回は、前回から引き続きたわみを求める式を誘導します。前回は梁が変形したときの、曲率を表す式を展開しました。下記の記事が参考になります。


前回の記事で説明したように、たわみを求める微分方程式は曲率と曲げモーメントの関係からなるものです。前回は、曲率を表す式を求めたので、次は曲げモーメントと関連付けてたわみの式を導出します。


たわみを求める微分方程式の展開

純曲げを受けて変形した梁を考えてみましょう。少し図が複雑になってわかりにくいですが、まず梁に曲げモーメントが作用してたわみが生じた場合を考えます。このとき、下の図のように変形し、さらに元々の微小長さdxから、赤点線のように変形しΔdxの変位が生じます。模式的に示した図を次に示します。この模式図を見れば、いわゆるdx→Δdxから水平変位をおこしたように見えますね。

曲率と曲げモーメントの関係

純曲げを受けて変形した梁

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以上の図から、水平方向の変位から歪を求めると

    ε=Δdx/dx

です。しかし、ちょっと見方を変えてみると曲率半径p、たわみyでも、同じように歪を求めることができるので、

    ε=Δdx/dx=y/p

ですね。

また、フックの法則から

    σ=Eε=Ey/p

となり、たわみが生じた点yにおいて以上のような応力が生じていることになります。

この応力は、作用させた曲げモーメントMと等しいと考えることができますので、

中立軸周りのモーメントのつり合いを考えると、

中立軸周りのモーメントのつり合い

中立軸周りのモーメントのつり合い2

です。

以上の関係式を曲率を表す式と関係づけると、

曲率を表す式との関係

ここで、

(dy/dx)2≒0

とすれば、

たわみを求める微分方程式

となり、この式がたわみを求める微分方程式です。


まとめ

今回は、梁のたわみの公式を算定する過程で、曲げモーメントと曲率を関係づけました。次回は、いよいよ梁のたわみの式を誘導します。次回が特に重要です。是非、下記の記事から進んでください。

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