曲げモーメントと曲率の関係,理論式の展開

この記事の要点

曲げモーメントMと曲率κ（kappa）はM＝EIκの関係で結ばれており、曲げ剛性EIが大きいほど同じモーメントに対して曲率（変形）が小さくなる。この関係はたわみの微分方程式d2y/dx2＝M/EIの基礎となり、梁のたわみ計算では曲率の積分が必要です。

【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒　建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット

曲げモーメントと曲率の関係今回は、前回から引き続きたわみを求める式を誘導します。前回は梁が変形したときの、曲率を表す式を展開しました。下記が参考になります。

曲率を表す式と理論式の誘導

前回の記事で説明したように、たわみを求める微分方程式は曲率と曲げモーメントの関係からなるものです。前回は、曲率を表す式を求めたので、次は曲げモーメントと関連付けてたわみの式を導出します。

100円から読める！ネット不要！印刷しても読みやすいPDF記事はこちら⇒　いつでもどこでも読める！広告無し！建築学生が学ぶ構造力学のPDF版の学習記事

たわみを求める微分方程式の展開

純曲げを受けて変形した梁を考えてみましょう。少し図が複雑になってわかりにくいですが、まず梁に曲げモーメントが作用してたわみが生じた場合を考えます。このとき、下の図のように変形し、さらに元々の微小長さdxから、赤点線のように変形しΔdxの変位が生じます。模式的に示した図を次に示します。この模式図を見れば、いわゆるdx→Δdxから水平変位をおこしたように見えますね。

以上の図から、水平方向の変位から歪を求めると

ε=Δdx/dx

です。しかし、ちょっと見方を変えてみると曲率半径p、たわみyでも、同じように歪を求めることができるので、

ε=Δdx/dx=y/p

ですね。

また、フックの法則から

σ=Eε=Ey/p

となり、たわみが生じた点yにおいて以上のような応力が生じていることになります。

この応力は、作用させた曲げモーメントMと等しいと考えることができますので、

中立軸周りのモーメントのつり合いを考えると、

中立軸周りのモーメントのつり合い

中立軸周りのモーメントのつり合い２

です。

以上の関係式を曲率を表す式と関係づけると、

曲率を表す式との関係

ここで、

(dy/dx)2≒0

とすれば、

たわみを求める微分方程式

となり、この式がたわみを求める微分方程式です。

混同しやすい用語

「曲率」と「曲げモーメント」

曲率（κ）は部材の曲がりの程度を表す値。曲率半径の逆数（κ＝1/R）で表される。

「曲げ剛性（EI）」と「曲げモーメント（M）」

曲げ剛性EIはヤング率Eと断面二次モーメントIの積で、曲げに対する変形しにくさを表す。M＝EI×κの関係で曲げモーメントと曲率がつながる。

試験での問われ方｜管理人の一言

M＝EIκの関係式（曲げモーメントと曲率の関係）は、梁のたわみを求める微分方程式の出発点となります。この式を理解することで構造力学の核心に近づけます。

曲げモーメントと曲率の関係を整理した表を示します。

項目	内容	備考
基本関係式	M = EI × κ（曲率κ = M / EI）	E：ヤング係数、I：断面二次モーメント
曲率半径との関係	κ = 1/R（Rは曲率半径）	曲率が大きいほど曲率半径は小さい
たわみ方程式への展開	EI × d2y/dx2 = M（微分方程式）	この式を積分してたわみ角・たわみを求める