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力の合成とその計算方法

力には圧縮力と引張力があります。建築では引張力を正値、圧縮力を負値と定義します。また、力は図のように矢印で表します。力の大きさを矢印の長さで表すこともありますが、次第に使わなくなるので(矢印の横に荷重の大きさが書いてある)、ここでも省略します。

力の引張と圧縮

力は目に見えません。初めはイメージするのが難しいかもしれませんが、力は「合成」できます。例えば、綱引きを思い出してください。1人よりも2人、2人よりも3人の方が引張る力が強くなりますよね。

例えば1人で引張る力が60kgだとすると、3人で引張る力は、


です。これを「力の合成」といいます。今回は、力の合成について、もう少し深く勉強しましょう。また下記の記事も併せて参考にしてください。

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力を合成する理論とは?

例えば、下図のように2つの力が作用したときを考えます。 この2組の力を合成し、P3P1P2の形で表してみましょう。αは作用する合力の角度を表し、また、P1P2の間をなす角度はθです。

力の作用線

力の作用線2

結論から言えば、力の合力とは図のように平行四辺形を作ったときの対角線です。なぜなら、力は大きさと方向を持っているので(難しく言えばベクトル)、単純に大きさを足し算するだけではダメです。よって、2つの力が作用しているときと等しい効果を表した単一の力を求めるために、以下のような計算を行います。


P23 = (P1cos(θ)+P2)2+ (P1 sin(θ))2


力の合力


つまり、対角線の長さを求めれば良いわけですから図のように、点線と矢印で三角形を作ります。底辺の長さはP2P1 cos(θ)を足したものです。また高さは、三角関数の関係からP1sin(θ)ですね。よって、ピタゴラスの定理から、それぞれの長さを二乗し足し合わせたものが対角線の長さです。


さらに、合力の向きを求めるためには三角形の高さ/底辺の値を求めて、アークタンジェントをとれば角度がわかります。よって、式は以下のように

角度

となり、さらに

角度2

で求めることが出来きます。

 

演習問題

図に示す力の合力を求めよ。2組の力が作用する間の角度は45°である。

演習問題


解答例

先ほど一般的な問題を解いているので、それぞれ式に必要な数値を代入すれば合力を求めることが出来ます。よって合力及びその角度は


P23 = (20cos(45)+50)2+ (20sin(45))2

※sin45= cos45=1/√2

解答例

となります。


まとめ

今回は力の合成について勉強しました。力の合成を勉強したあとは、力の分解や反力の計算、モーメントについて勉強しましょう。下記の記事が参考になります。

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