力の合成とは？計算方法・合力と平行四辺形の関係（ベクトルの合成の基礎）

この記事の要点

2つの力が異なる方向に働くとき、その合力を求めるには平行四辺形を描く。

これが「力の合成」の基本で、構造力学の出発点になる。

合力の計算手順と、建築での応用を整理する。

力には大きさと方向があるため、単純な足し算ではなく、平行四辺形の法則や三角関数を使って合力の大きさと角度を求める必要がある。

【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒　建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット

力の合成とは、二つ以上の力を「それらと等しい効果をもつ１つの力にまとめること」です。"それらの等しい効果を持つ"という点が重要です。

タップできる目次

力の合成とは？

力の合成

力には大きさと方向があります。よって、二つ以上の力の大きさを単純に足し算しても、それらと同じ力の効果が得られるわけでは無いのです。

力の合成を行う場合、必ず、力の大きさ、方向を考慮して１つにまとめます。

今回は

・力の合成とは？意味
・力の合成の方法、計算

について説明します。また下記も併せて参考にしてください。

力の分解とは｜計算方法・ピタゴラスの定理による求め方と合力との関係

反力ってなに？反力の求め方と支点反力

力の合成とは？

力の合成とは

二つ以上の力を「それらと等しい効果をもつ１つの力にまとめること」

です。さらに、まとめられた力を合力といいます。

合力　リンク

力は目に見えません。イメージするのが難しいかもしれませんが、力は「合成」できます。

綱引きを思い出してください。１人よりも２人、２人よりも３人の方が引張る力が強くなりますよね。

たとえば１人で引張る力が6kgだとすると、３人で引張る力は、

・6kg×3人＝18ｋｇ

です。

力の合成

ただし注意したいのは

・力は大きさと方向をもつ

ことです。

力は大きさと方向をもつ

上図のように、力は矢印で表しており

・力の作用する方向　⇒　矢印の向きで表す
・力の大きさ　⇒　矢印の長さで表す。力の単位はN（ニュートン）とする
・力の作用点（力の作用する点）　⇒　矢印の元端で表す

のです。

なお、建築の構造力学では、力の作用点は矢印の先端で表すことが多いです。本記事でも、この方法に習って表します。

力を合成するときは"方向を考慮"する必要があります。上図の例では縄を引張る方向が同じなので単純に「引っ張る力を３倍」すればよいですが、方向が異なれば考え方も変わります。

前述したように、力の合成を行うときは

・二つ以上の力をそれらと等しい効果をもつ

ように"１つの力にまとめる"のです。

100円から読める！ネット不要！印刷しても読みやすいPDF記事はこちら⇒　いつでもどこでも読める！広告無し！建築学生が学ぶ構造力学のPDF版の学習記事

力の合成のパターン

簡単のため２つの力を１つの力に合成することを考えます。

力の合成を考える場合、初学者の方は下記の3パターンに整理すると理解しやすいです。

・2つの力が同じ方向に作用する場合
・2つの力が反対の方向に作用する場合
・2つの力が任意方向に作用する場合

なお、慣れるとパターン分けは不要になるはずです。３パターンの考え方は同じで、要するに"ベクトルの計算"をしているだけです。

それでは各パターンの計算を解説します。

2つの力が同じ方向に作用する場合

同じ方向に複数の力が作用する場合、力の合成は

・力の大きさを足し算するだけ

です。作用する方向が同じであれば、単なる大きさの足し算をするだけです。

2つの力が同じ方向に作用する場合

たとえば、上図のように10kN、20kNの２つの力を合成すると

・合力＝10kN+20kN＝30kN

になります。

同じ方向に作用する10kN、20kNは、１つの力である30kNと等しい効果を持つということです。

2つの力が反対の方向に作用する場合

２つの力が真逆（反対）方向に作用する場合、力の合成は

・力の大きさを引き算するだけ

です。力の作用する方向が真反対（真逆）の場合、１つの力の大きさからもう一方の力の大きさを引き算すれば、力の合成が算定できます。

なお、一般に右方向を正の値、左方向を負の値と定義します。

力の合成の計算式は

・合力＝－10kN+20kN＝10kN

です。

上記は、反対方向に作用する10kN、20kNは、１つの力である10kNと等しい効果を持つことを意味します。

力を合成する理論（2つの力が任意方向に作用する場合）

例えば、下図のように２つの力が作用したときを考えます。

この２組の力を合成し、P₃をP₁とP₂の形で表してみましょう。αは作用する合力の角度を表し、また、P₁とP₂の間をなす角度はθです。

力の作用線

力の作用線２

結論から言えば、力の合力とは図のように平行四辺形を作ったときの対角線です。

なぜなら、力は大きさと方向を持っているので（難しく言えばベクトル）、単純に大きさを足し算するだけではダメです。

よって、２つの力が作用しているときと等しい効果を表した単一の力を求めるために、以下のような計算を行います。

P²₃ = (P₁cos(θ)+P₂)²+ (P₁ sin(θ))²

つまり、対角線の長さを求めれば良いわけですから図のように、点線と矢印で三角形を作ります。

底辺の長さはP₂とP₁ cos(θ)を足したものです。

また高さは、三角関数の関係からP₁sin(θ)ですね。

よって、ピタゴラスの定理から、それぞれの長さを二乗し足し合わせたものが対角線の長さです。

※ピタゴラスの定理は下記が参考になります。

ピタゴラスの定理とは？建築・構造計算でよく使う3:4:5の関係と証明

さらに、合力の向きを求めるためには三角形の高さ/底辺の値を求めて、アークタンジェントをとれば角度がわかります。よって、式は以下のように

となり、さらに

角度２

で求めることが出来ます。

力の合成の演習問題

図に示す力の合力を求めよ。２組の力が作用する間の角度は45°である。

演習問題

先ほど一般的な問題を解いているので、それぞれ式に必要な数値を代入すれば合力を求めることが出来ます。よって合力及びその角度は

P²₃ = (20cos(45)+50)²+ (20sin(45))²

※sin45= cos45=1/√2

解答例

となります。

力の合成の作図

２つの力が任意方向に作用するときの力の合成は「作図」で比較的簡単に合力が得られます。※ただし、厳密解は前述した計算式によります。

力の合成を求める作図の考え方は簡単で

・２つの力を辺とする平行四辺形の対角線が合力

となります。よって、まずは２つの力を辺とする平行四辺形を作図します。

力の合成の作図

２つの力の矢印を平行移動させて平行四辺形をつくります。

２つの力の矢印を平行移動させて平行四辺形をつくります

作用点から2つの点線が、交わるところまで矢印を伸ばします。これが、2つの力と同じ効果を持もつ合力です。すなわち、上図の平行四辺形の対角線が合力となります。

混同しやすい用語

力の合成（合力）

力の合成とは、2つ以上の力を「等しい効果をもつ1つの力」にまとめることで、まとめた力を合力という。

平行四辺形の対角線が合力の方向と大きさを表す。

力の分解は逆に1つの力を指定の方向の2つの分力に分けることであり、合成（複数→1つ）と分解（1つ→複数）は逆の操作である。

力の分解（分力）

力の分解とは、1つの力（合力）を指定された方向の2つの力（分力）に分けることで、分力と合力の関係も平行四辺形で表現される。

力の合成は複数の力を1つにまとめる操作であり、力の分解は1つの力を複数に分ける操作で、操作の向きが逆である。

力の合成を整理した表を示します。

項目	内容	備考
力の合成の定義	二つ以上の力を等価な１つの力（合力）にまとめること	大きさの算術和ではなくベクトル和
平行四辺形の法則	合力の大きさは平行四辺形の対角線で求める	2力のなす角が0°のとき合力は最大
直交する2力の合力	R＝√(P12＋P22)（ピタゴラスの定理）	tanθ＝P2/P1 で合力の方向も求まる