片持ち梁のたわみを求める方法

この記事の要点

片持ち梁のたわみは固定端を基準に積分して求めます。先端集中荷重ではδmax=PL3/3EI、等分布荷重ではδmax=wL?/8EIが基本公式です。単純梁に比べてたわみが大きくなります。

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片持ち梁のたわみは静定構造です。静定構造は、1点だけで荷重を支える構造なので、たわみの計算が必須です。片持ち梁は単純梁と比べて、変形が大きくなります。今回は、そんな片持ち梁のたわみを、先端集中荷重、等分布荷重などの例題を元に説明します。

片持ち梁の意味は、下記が参考になります。

片持ち梁とは？1分でわかる構造、様々な荷重による応力と例題

片持ち梁のたわみの公式は、微分方程式により導出します。公式の導出法も後述しました。また下記の記事も併せて参考にしてください。

たわみ（撓み）とは？1分でわかる意味、求め方、公式、単位、記号、計算法

梁のたわみを求める方法

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片持ち梁のたわみを求める公式

まず、片持ち梁のたわみを求める公式を説明します。たわみは、荷重の作用の仕方で変わります。作用荷重は、主に集中荷重と等分布荷重に分けられます。集中荷重の方が、等分布荷重に比べて、たわみが大きくなることがポイントです。下記も参考にしてください。

集中荷重が作用する片持ち梁とは？1分でわかる計算、反力、応力、たわみの求め方

等分布荷重が作用する片持ち梁とは？3分でわかる計算、応力、せん断力、たわみ、公式、モーメント図

先端集中荷重作用時

たわみの公式は下記です。

δ＝PL³／3EI

先端集中荷重作用時　片持ち梁のたわみ

δはたわみ、Ｐは先端集中荷重、Ｌは片持ち梁のスパン、Ｅはヤング係数、Ｉは断面二次モーメントです。たわみは、スパンの3乗に比例するので、スパンの長い片持ち梁は注意が必要です。詳細は下記もご覧ください。

先端荷重の作用する片持ち梁の計算は？3分でわかる公式、曲げモーメント、たわみ

等分布荷重作用時

たわみの公式は下記です。

δ＝wL⁴／8EI

等分布荷重作用時　片持ち梁のたわみ

δはたわみ、ｗは等分布荷重、Ｌは片持ち梁のスパン、Ｅはヤング係数、Ｉは断面二次モーメントです。たわみは、Ｌの4乗に比例します。下記も参考になります。

等分布荷重が作用する片持ち梁とは？3分でわかる計算、応力、せん断力、たわみ、公式、モーメント図

では、同等の荷重が作用したとき、集中荷重と等分布荷重ではどちらのたわみが大きいでしょうか。

集中荷重と等分布荷重で、どちらのたわみが大きいか？

集中荷重と等分布荷重のたわみの公式で、分母の係数を比較します。

・集中荷重　1/3

・等分布荷重　1/8

つまり3倍程度、集中荷重のたわみが大きいです。

RC片持ち梁のたわみ

RC造片持ち梁のたわみも、計算方法は前述したとおりです。ただし、2点気をつけてください。

・スラブの剛性が考慮可能

・鉛直震度を考慮する

・たわみはクリープを考慮する

１つは、RC造の場合スラブの剛性が考慮できる点です。詳しくは省略しますが、梁はスラブと一体のため、スラブの剛性を考慮し、1.5～2.0倍程度、断面二次モーメントを割増できます。

2つめは鉛直震度です。鉛直震度とは、鉛直方向の地震力です。※鉛直震度については下記の記事が参考になります。

鉛直震度ってなに？1分で分かる鉛直震度の意味と、片持ち梁の設計

3つめは、クリープの考慮です。RC造はクリープしやすい材料です。そのため、梁は弾性変形の8倍、スラブは16倍の変形増大係数を考慮し、所定の変形制限を満足させます。

※ＲＣ造のクリープは、下記が参考になります。

コンクリートのクリープってなに？その原因と、変形増大係数の関係

片持ち梁のたわみの公式を導出する方法

梁のたわみを求めてみましょう。たわみを求める微分方程式は

です。上記式の詳細や導出方法等は、｢曲率を表す式｣、｢曲げモーメントと曲率の関係｣、｢微分方程式による解法｣が参考になります。下記のリンクからどうぞ。

曲率を表す式と理論式の誘導

曲げモーメントと曲率の関係,理論式の展開

梁のたわみを求める方法

さて、下図をみてください。片持ち梁の先端に集中荷重が作用しています。今回は、この条件で梁のたわみを計算します。

片持ち梁

0＜Lの場合

曲げモーメントMx =－P(L－x) = P(x－L)

0＜Lの場合

まず、微分方程式に曲げモーメントを代入すると、

0< Lの場合

たわみを求めたいわけですから、積分を行います。よって、

です。

境界条件で解く

未知数が2つありますので、境界条件を用いて解きます。まず、支点にはたわみは発生しないので境界条件は以下のように、

x=0,y1=0（0＜Lの場合）

また、固定端では回転はしないため、回転角が0です。

x=0,θ1=0（0＜Lの場合）

境界条件で解く

です。

以上のように、境界条件から未知数を求めることが出来ました。よって、たわみとたわみ角の式は次の通りです。

片持ち梁のたわみ

ですね。

よってx=Lのたわみ及びたわみ角は以下の式で示されます。

片持ち梁たわみ角

です。

混同しやすい用語

片持ち梁

一端が固定端、他端が自由端の梁。固定端のたわみはゼロ、自由端（先端）で最大たわみが生じる。

単純梁

両端を支持した梁。中央付近で最大たわみが生じ、同じ荷重条件では片持ち梁よりたわみが小さい。

試験での問われ方｜管理人の一言

片持ち梁と単純梁のたわみ公式の違いは「スパンLの次数」と「係数」にあります。片持ち梁の集中荷重はPL3/3EI、単純梁の集中荷重はPL3/48EIで、分母の数字が大きく異なります。

片持ち梁のたわみを整理した表を示します。

荷重条件	たわみ公式	最大たわみ位置
先端集中荷重	δmax = PL3/3EI	自由端（先端）
等分布荷重	δmax = wL?/8EI	自由端（先端）
単純梁との比較	集中荷重で単純梁の16倍のたわみ	片持ち梁は変形が特に大きい