単純梁に等分布荷重が作用するときのたわみ｜公式・導出・計算例

この記事の要点

単純梁に等分布荷重が作用するとき、最大たわみはスパン中央に発生します。

公式は δ = 5wL⁴ / (384EI) で、荷重強度w・スパンL・ヤング率E・断面二次モーメントIが変数です。

この公式は構造計算で頻繁に使います。スパンの4乗が効くため、スパンを2倍にするとたわみは16倍になります。設計時に「なぜこの断面が必要か」を感覚的に理解するうえで、スパンとたわみの関係は特に重要です。

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単純梁に等分布荷重が作用する梁のたわみは、実務で沢山目にします。今回求めるたわみの算定式は最も使用頻度が多いものですから、誘導式も含めて理解しておきたいですね。

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建築学テキスト建築構造力学〈1〉静定構造力学を学ぶ

※単純梁、等分布荷重については下記が参考になります。

単純梁と両端固定梁の違いとは？曲げモーメント・たわみの公式と設計への影響

等分布荷重とは？集中荷重との違い・単位・使い方を解説

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微分方程式からたわみの公式を誘導する

梁のたわみを求めてみましょう。たわみを求める微分方程式は

です。上記式の詳細や導出方法等は、｢曲率を表す式｣、｢曲げモーメントと曲率の関係｣、｢微分方程式による解法｣を読んでください。※たわみについては、下記が参考になります。

たわみ（撓み）とは？意味・求め方・公式・単位・記号をわかりやすく解説

ケース１（単純梁,等分布荷重）

単純梁,等分布荷重

0 ＜ Lの場合

曲げモーメントMx =w(lx－x²)/2

0 ＜ Lの場合

まず、微分方程式に曲げモーメントを代入すると、

微分方程式に曲げモーメントを代入

たわみを求めたいわけですから、積分を行います。よって、

積分を行います

です。※曲げモーメントの公式は、下記が参考になります。

曲げモーメントの公式は？1分でわかる公式、導出、両端固定、単純梁、片持ち梁

境界条件で解く

未知数が2つありますので、境界条件を用いて解きます。※境界条件については、下記が参考になります。

境界条件とは？種類・固定・ピン・はりへの影響

支点にはたわみは発生しないので、境界条件は以下のように、

x=0,y1=0（0 ＜ Lの場合）

また、固定端では回転はしないため、回転角が0です。

x=L,y1=0（0 ＜ Lの場合）

境界条件で解く

です。

以上のように、境界条件から未知数を求めることが出来ました。

よって、たわみとたわみ角の式は次の通りです。

0 ＜ Lの場合

たわみの式

ですね。

x=L/2のたわみ及びx=0の点でのたわみ角は以下の式で示されます。

たわみ角の式

※たわみ角については下記が参考になります。

たわみ角とは？公式・単位（rad）・例題で学ぶ計算法

混同しやすい用語

等分布荷重作用時のたわみ（5wL4/384EI）

単純梁に等分布荷重が作用するときの最大たわみ。スパン中央で最大になる。係数の「5」と分母の「384」が特徴。

集中荷重作用時のたわみ（PL3/48EI）

単純梁に中央集中荷重が作用するときの最大たわみ。等分布荷重と比べてLの次数が3乗（等分布は4乗）である点が違う。

実務でたわみを確認するとき、公式の値を暗記で使うケースは少なく、条件に応じて等分布か集中荷重かを判断しながらEIの値を当てはめていく作業になる。スパンが長くなるほどL?で効いてくるため、スパン変更の影響は思っている以上に大きい。

5wL4/384EIという式は、導出過程を一度追っておくと係数の意味が腑に落ちる。試験対策として暗記するより、境界条件から積分を追った経験があると現場でも応用が効く。

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理解度チェック

単純梁に等分布荷重が作用するときの最大たわみの公式と発生位置を答えてください。

答えを見る

最大たわみは δ＝5wL⁴/(384EI) で、スパン中央に発生します（wは荷重強度、Lはスパン、Eはヤング率、Iは断面二次モーメント）。実務で最も使用頻度の高いたわみ公式の一つです。

単純梁・等分布荷重でスパンを2倍にするとたわみは何倍になりますか。

答えを見る

たわみはスパンLの4乗が効く（δ∝L⁴）ため、スパンを2倍にするとたわみは2⁴＝16倍になります。スパン変更の影響は思っている以上に大きい点に注意します。

単純梁の等分布荷重と中央集中荷重のたわみ公式の違いを説明してください。

答えを見る

等分布荷重は δ＝5wL⁴/384EI（Lの4乗）、中央集中荷重は δ＝PL³/48EI（Lの3乗）で、スパンLの次数が異なります。どちらもスパン中央で最大たわみが生じます。

この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学わかる構造力学（改訂版）

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