単純梁に等分布荷重が作用するときのたわみ｜公式・導出・計算例

この記事の要点

単純梁に等分布荷重が作用するとき、最大たわみはスパン中央に発生します。

公式は δ = 5wL⁴ / (384EI) で、荷重強度w・スパンL・ヤング率E・断面二次モーメントIが変数です。

この公式は構造計算で頻繁に使います。スパンの4乗が効くため、スパンを2倍にするとたわみは16倍になります。設計時に「なぜこの断面が必要か」を感覚的に理解するうえで、スパンとたわみの関係は特に重要です。

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単純梁に等分布荷重が作用する梁のたわみは、実務で沢山目にします。今回求めるたわみの算定式は最も使用頻度が多いものですから、誘導式も含めて理解しておきたいですね。

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建築学テキスト建築構造力学〈1〉静定構造力学を学ぶ

※単純梁、等分布荷重については下記が参考になります。

単純梁と両端固定梁の違いとは？曲げモーメント・たわみの公式と設計への影響

等分布荷重とは？集中荷重との違い・単位・使い方を解説

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微分方程式からたわみの公式を誘導する

梁のたわみを求めてみましょう。たわみを求める微分方程式は

です。上記式の詳細や導出方法等は、｢曲率を表す式｣、｢曲げモーメントと曲率の関係｣、｢微分方程式による解法｣を読んでください。※たわみについては、下記が参考になります。

たわみ（撓み）とは？意味・求め方・公式・単位・記号をわかりやすく解説

ケース１（単純梁,等分布荷重）

単純梁,等分布荷重

0 ＜ Lの場合

曲げモーメントMx =w(lx－x²)/2

0 ＜ Lの場合

まず、微分方程式に曲げモーメントを代入すると、

微分方程式に曲げモーメントを代入

たわみを求めたいわけですから、積分を行います。よって、

積分を行います

です。※曲げモーメントの公式は、下記が参考になります。

曲げモーメントの公式は？1分でわかる公式、導出、両端固定、単純梁、片持ち梁

境界条件で解く

未知数が2つありますので、境界条件を用いて解きます。※境界条件については、下記が参考になります。

境界条件とは？種類・固定・ピン・はりへの影響

支点にはたわみは発生しないので、境界条件は以下のように、

x=0,y1=0（0 ＜ Lの場合）

また、固定端では回転はしないため、回転角が0です。

x=L,y1=0（0 ＜ Lの場合）

境界条件で解く

です。

以上のように、境界条件から未知数を求めることが出来ました。

よって、たわみとたわみ角の式は次の通りです。

0 ＜ Lの場合

たわみの式

ですね。

x=L/2のたわみ及びx=0の点でのたわみ角は以下の式で示されます。

たわみ角の式

※たわみ角については下記が参考になります。

たわみ角とは？公式・単位（rad）・例題で学ぶ計算法

混同しやすい用語

等分布荷重作用時のたわみ（5wL?/384EI）

単純梁に等分布荷重が作用するときの最大たわみ。スパン中央で最大になる。係数の「5」と分母の「384」が特徴。

集中荷重作用時のたわみ（PL3/48EI）

単純梁に中央集中荷重が作用するときの最大たわみ。等分布荷重と比べてLの次数が3乗（等分布は4乗）である点が違う。

試験での問われ方｜管理人の一言

単純梁の等分布荷重たわみ（5wL?/384EI）は試験でよく出る公式です。「5/384」という係数は間違えやすいため、分子の「5」と分母の「384=8×48」と覚えるか、導出して理解することをおすすめします。

実務でたわみを確認するとき、公式の値を暗記で使うケースは少なく、条件に応じて等分布か集中荷重かを判断しながらEIの値を当てはめていく作業になる。スパンが長くなるほどL?で効いてくるため、スパン変更の影響は思っている以上に大きい。

5wL?/384EIという式は、導出過程を一度追っておくと係数の意味が腑に落ちる。試験対策として暗記するより、境界条件から積分を追った経験があると現場でも応用が効く。

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この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学わかる構造力学（改訂版）

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