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梁のたわみを求める-片持ち梁,等分布荷重-

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梁のたわみを求めてみましょう。たわみを求める微分方程式は

です。上記式の詳細や導出方法等は、｢曲率を表す式｣、｢曲げモーメントと曲率の関係｣、｢微分方程式による解法｣を読んでください。

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ケース１（片持ち梁,等分布荷重）

0< Lの場合

曲げモーメントMx =－w(x2－2lx+l2)/2

0< Lの場合

まず、微分方程式に曲げモーメントを代入すると、

たわみを求めたいわけですから、積分を行います。よって、

です。

境界条件で解く

未知数が2つありますので、境界条件を用いて解きます。まず、支点にはたわみは発生しないので境界条件は以下のように、

x=0,y1=0（0< Lの場合）

また、固定端では回転はしないため、回転角が0です。

x=0,θ1=0（0< Lの場合）

です。

以上のように、境界条件から未知数を求めることが出来ました。

よって、たわみとたわみ角の式は次の通りです。

0< Lの場合

ですね。よってx=Lのたわみ及びたわみ角は以下の式で示されます。

です。

片持ち梁（等分布荷重）のたわみ計算例

公式 δmax = wL⁴/(8EI)、θmax = wL³/(6EI) を使って実際に計算してみましょう。

計算例1：バルコニー梁（L=3m）

条件	値
スパン L	3.0 m
等分布荷重 w	5.0 kN/m
曲げ剛性 EI	1.0×10⁴ kN·m²

δmax = 5.0 × 3.0⁴ ÷ (8 × 10,000) = 5.0 × 81 ÷ 80,000 = 405 ÷ 80,000 ≒ 5.1mm

θmax = 5.0 × 3.0³ ÷ (6 × 10,000) = 135 ÷ 60,000 ≒ 2.25×10⁻³ rad

計算例2：片持ちスラブ（L=2m）

条件	値
スパン L	2.0 m
等分布荷重 w	10.0 kN/m
曲げ剛性 EI	5.0×10³ kN·m²

δmax = 10.0 × 2.0⁴ ÷ (8 × 5,000) = 160 ÷ 40,000 = 4.0mm

δmax = 4mm、L/δ = 2000/4 = 500。建築基準法の許容たわみ（L/300 ≒ 6.7mm）以内に収まります。

荷重条件によるたわみ公式の比較

荷重条件	最大たわみ δmax	最大たわみ角 θmax
集中荷重 P（先端）	PL³/(3EI)	PL²/(2EI)
等分布荷重 w	wL⁴/(8EI)	wL³/(6EI)

よくある誤解

• ×誤り：等分布荷重も「L³」でたわみを計算できる
  ○正解：等分布荷重は L⁴（4乗）、集中荷重は L³（3乗）で次数が異なります
• ×誤り：固定端はたわみゼロだがたわみ角はある
  ○正解：固定端ではたわみ・たわみ角ともゼロ。自由端でたわみ・たわみ角ともに最大です

一問一答

Q1：片持ち梁でL=2m、w=10kN/m、EI=5000kN·m²のとき、最大たわみは？

A1：δmax = 10×2⁴÷(8×5000) = 160÷40000 = 0.004m = 4mm

Q2：スパンが2倍になると、等分布荷重による片持ち梁のたわみは何倍になる？

A2：δ∝L⁴なので2⁴ = 16倍になります。スパン増加がたわみに非常に大きく影響します。

片持ち梁は建物のどこかに必ずあります。バルコニーや庇など場所はさまざまで、たわみが基準を超えそうになると断面を大きくするのですが、そうすると梁せいが増えて意匠上の問題が出てきます。天井高や外観への影響を意匠担当と調整しながら落としどころを探す、という作業は実務で何度も経験しました。

もう一点気をつけておきたいのが冗長性のなさです。通常の梁と違い、片持ち梁は固定端1か所だけで荷重を受けるため、接合部の品質が直接リスクにつながります。設計でも施工でも他の部材より丁寧に扱う必要があります。

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• 名前　ハナダユキヒロ/MITUME lab代表.
• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


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