片側ピン・片側固定柱の座屈荷重｜オイラー理論からの計算式と導出

さて、次の図を見てください。この長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態です。この柱は座屈を起こし、yの変形をおこしているとします。この状態で弾性曲線式を解き、座屈荷重を求めましょう。また、この図では下方向を正のy、右方向を正のxとしています。

まず、両端ピンの柱に集中荷重Pと点Aのたわみ角が0となるような曲げモーメントMが作用している場合と考えます。この場合、釣り合いが成立するように両端に作用する垂直反力

Q=T/L

が作用します。この場合、赤点での曲げモーメントは、

です。弾性曲線式は以下のように示されます。

曲げモーメントは

です。よって、

計算を行いやすくするために、

とします。このような微分方程式（斉次方程式）を解く場合、解のyを以下のように仮定して解きます。

既に、解き方は示しているのでここでは計算過程を省略しますね。一般解は、

さて、目的は座屈荷重を求めることです。まずは境界条件によって定数を求めましょう。

境界条件は

です。以上より、

また、x=L、y=0より座屈条件式を求めます。

です。よって、以上の式を満たすklは次のように

4.493、7.725、10.904…

ですから、以上の最小値をとって座屈荷重は

以上の式が、片持ち梁の座屈荷重です。

基本的な計算過程は両端ピンの場合と同じですが、曲げモーメントや境界条件等が異なってきます。

また、kの求め方が少し違うので戸惑ってしまうかもしれませんね。

また、一般解の求め方は省略していますが、要望があればのせたいと思います。

計算過程は同じなので、自分で解いてみてくださいね。

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この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

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