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片側ピン・片側固定柱の座屈荷重の計算式と導出方法

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長柱は座屈に注意しないと、部材の圧縮強度より小さな外力で壊れてしまいます。今回は、片側固定で、片側ピンの境界条件における座屈荷重を算定しましょう。

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オイラー座屈荷重の理論展開

さて、次の図を見てください。この長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態です。この柱は座屈を起こし、yの変形をおこしているとします。この状態で弾性曲線式を解き、座屈荷重を求めましょう。また、この図では下方向を正のy、右方向を正のxとしています。

まず、両端ピンの柱に集中荷重Pと点Aのたわみ角が0となるような曲げモーメントMが作用している場合と考えます。この場合、釣り合いが成立するように両端に作用する垂直反力


Q=T/L


が作用します。この場合、赤点での曲げモーメントは、

です。弾性曲線式は以下のように示されます。

曲げモーメントは

です。よって、

計算を行いやすくするために、

とします。このような微分方程式(斉次方程式)を解く場合、解のyを以下のように仮定して解きます。


既に、解き方は示しているのでここでは計算過程を省略しますね。一般解は、

さて、目的は座屈荷重を求めることです。まずは境界条件によって定数を求めましょう。

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境界条件は

です。以上より、

また、x=L、y=0より座屈条件式を求めます。

です。よって、以上の式を満たすklは次のように


4.493、7.725、10.904…


ですから、以上の最小値をとって座屈荷重は

以上の式が、片持ち梁の座屈荷重です。基本的な計算過程は両端ピンの場合と同じですが、曲げモーメントや境界条件等が異なってきます。また、kの求め方が少し違うので戸惑ってしまうかもしれませんね。また、一般解の求め方は省略していますが、要望があればのせたいと思います。計算過程は同じなので、自分で解いてみてくださいね。

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