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片持ち柱の座屈荷重の計算式と導出方法

さて、次の図を見てください。この長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態です。この柱は座屈を起こし、yの変形をおこしているとします。この状態で弾性曲線式を解き、座屈荷重を求めましょう。また、この図では下方向を正のy、右方向を正のxとしています。
長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態
この場合、赤点での曲げモーメントは、
赤点での曲げモーメント
です。
弾性曲線式は以下のように示されます。
弾性曲線式
曲げモーメントは
曲げモーメント
です。よって、
赤点での曲げモーメント2
計算を行いやすくするために、
微分方程式(斉次方程式)
とします。このような微分方程式(斉次方程式)を解く場合、解のyを以下のように仮定して解きます。 既に、解き方は示しているのでここでは計算過程を省略しますね。一般解は、
微分方程式(斉次方程式)の一般解
さて、目的は座屈荷重を求めることです。まずは境界条件によって定数を求めましょう。
境界条件は
x=0,y1=0
x=0,dy2/ dx2=0
境界条件から求める
です。以上より、
境界条件から求める2
このままでは、y0が決定されません。しかし、x=l,y=y0なので、
境界条件から求める3
です。
よって、以上の式を満たすklは次のように
klは次のように求める
ですから、座屈荷重は
座屈荷重は
以上の式が、片持ち梁の座屈荷重です。基本的な計算過程は両端ピンの場合と同じですが、 曲げモーメントや境界条件等が異なってきます。また、kの求め方が少し違うので戸惑ってしまう かもしれませんね。また、一般解の求め方は省略していますが、要望があればのせたいと思います。 計算過程は同じなので、自分で解いてみてくださいね。

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