片持ち柱の座屈荷重の計算式と導出方法
この記事の要点
片持ち柱（一端固定・他端自由）の座屈荷重は Pe＝π2EI/(2L)2 で計算する。有効座屈長さは lk＝2L となり、同じ部材の両端ピン条件の4分の1の荷重でしか座屈荷重が得られない。
片持ち柱は最も座屈しやすい支持条件であることを理解しておくことが重要。実際の鉄骨柱設計では横座屈防止のため小梁やブレースを設けて実質的な座屈長さを短くする。
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次の図を見てください。この長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態です。この柱は座屈を起こし、yの変形をおこしているとします。この状態で弾性曲線式を解き、座屈荷重を求めましょう。また、この図では下方向を正のy、右方向を正のxとしています。
この場合、赤点での曲げモーメントは、
です。
弾性曲線式は以下のように示されます。
曲げモーメントは
です。よって、
計算を行いやすくするために、
とします。このような微分方程式（斉次方程式）を解く場合、解のyを以下のように仮定して解きます。
既に、解き方は示しているのでここでは計算過程を省略しますね。一般解は、
さて、目的は座屈荷重を求めることです。まずは境界条件によって定数を求めましょう。
境界条件は
x=0,y1=0
x=0,dy2/ dx2=0
です。以上より、
このままでは、y0が決定されません。しかし、x=l,y=y0なので、
です。
よって、以上の式を満たすklは次のように
ですから、座屈荷重は
以上の式が、片持ち梁の座屈荷重です。基本的な計算過程は両端ピンの場合と同じですが、曲げモーメントや境界条件等が異なってきます。
また、kの求め方が少し違うので戸惑ってしまうかもしれませんね。今回は一般解の求め方は省略していますが、計算過程は同じなので、自分で解いてみてくださいね。
混同しやすい用語
片持ち柱の座屈（一端固定・他端自由）
一方の端が完全固定、他方が自由（拘束なし）の柱。最も座屈しやすい条件で、有効座屈長さ lk＝2L（部材長の2倍）。オイラー座屈荷重が最も小さくなる支持条件。
両端ピンの座屈（単純支持）
両端がピン支持の柱。有効座屈長さ lk＝L（部材長と同一）。片持ち柱より座屈荷重が4倍大きい。建築の構造計算では最も基本的な座屈モデルとして使われる。
片持ち柱の座屈荷重 計算例
| 条件 | 値 |
|---|---|
| 縦弾性係数 E | 2.0×10? N/mm2（鋼材） |
| 断面二次モーメント I | 800 cm? = 8.0×10? mm? |
| 部材長 L | 3,000 mm |
| 端部条件 | 片持ち（一端固定・他端自由、lk = 2L） |
有効座屈長さ：lk = 2L = 2×3,000 = 6,000 mm
座屈荷重：Pe = π2EI/lk2 = π2×(2.0×10?)×(8.0×10?) / (6,000)2
= (9.87×1.6×1012) / 3.6×10? ≒ 438 kN
参考：同条件で両端ピン（lk=L=3,000 mm）の場合は Pe ≒ 1,756 kN → 片持ちは 1/4倍 の座屈強度
端部条件別の座屈荷重 比較表（同条件 E・I・L）
| 端部条件 | 有効座屈長さ lk | Pe 比（両端ピン＝1） | Pe 概算値（今回の条件） |
|---|---|---|---|
| 両端固定 | L/2 = 1,500 mm | 4倍 | 約 7,025 kN |
| 一端固定・他端ピン | 0.7L ≒ 2,100 mm | 約2倍 | 約 3,512 kN |
| 両端ピン（基準） | L = 3,000 mm | 1倍 | 約 1,756 kN |
| 片持ち（一端固定・他端自由） | 2L = 6,000 mm | 1/4倍 | 約 438 kN |
よくある誤解
- ×誤り「片持ち柱の lk は L（部材長）と同じ」→ ○正解 lk = 2L。下端固定・上端自由の形で変曲点がなく、等価長さが2倍になる
- ×誤り「固定端が多いと lk は大きくなる」→ ○正解 固定端が増えるほど lk は小さくなり Pe は大きくなる（座屈しにくくなる）
- ×誤り「片持ち柱と両端ピンのPe差は2倍」→ ○正解 lkが2倍→lk2が4倍→Peは1/4倍。差は4倍（Pe∝1/lk2に注意）
一問一答
Q. E=2.0×10? N/mm2、I=1,200 cm?、L=4,000 mm の片持ち柱の Pe は？
A. lk=2L=8,000 mm。Pe=π2×(2.0×10?)×(1.2×10?)/(8,000)2=π2×2.4×1012/6.4×10?≒ 369 kN
Q. 同じ条件で端部条件を両端固定にすると Pe はいくらか？
A. lk=L/2=2,000 mm。Pe=π2×(2.0×10?)×(1.2×10?)/(2,000)2≒ 5,921 kN。片持ちの約16倍
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意味を読んで終わりにせず、実際に理解できているかチェックしてみましょう。
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- 名前 ハナダユキヒロ/MITUME lab代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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試験での問われ方｜管理人の一言
試験では有効座屈長さと座屈荷重の関係を問う問題が出ます。「片持ち柱のlk＝2L（最大）」「両端固定のlk＝L/2（最小）」「両端ピンのlk＝L（基準）」の3条件を表で整理しておきましょう。また「lkが小さいほどPeが大きい（座屈しにくい）」という逆比例の関係（Pe∝1/lk2）も覚えておくと正誤問題で確実に得点できます。