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片持ち柱の座屈荷重の計算式と導出方法

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次の図を見てください。この長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態です。この柱は座屈を起こし、yの変形をおこしているとします。この状態で弾性曲線式を解き、座屈荷重を求めましょう。また、この図では下方向を正のy、右方向を正のxとしています。


長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態


この場合、赤点での曲げモーメントは、


赤点での曲げモーメント


です。


弾性曲線式は以下のように示されます。


弾性曲線式


曲げモーメントは


曲げモーメント


です。よって、


赤点での曲げモーメント2


計算を行いやすくするために、


微分方程式(斉次方程式)


とします。このような微分方程式(斉次方程式)を解く場合、解のyを以下のように仮定して解きます。


既に、解き方は示しているのでここでは計算過程を省略しますね。一般解は、


微分方程式(斉次方程式)の一般解


さて、目的は座屈荷重を求めることです。まずは境界条件によって定数を求めましょう。

境界条件は


x=0,y1=0

x=0,dy2/ dx2=0


境界条件から求める


です。以上より、


境界条件から求める2


このままでは、y0が決定されません。しかし、x=l,y=y0なので、


境界条件から求める3


です。


よって、以上の式を満たすklは次のように


klは次のように求める


ですから、座屈荷重は


座屈荷重は


以上の式が、片持ち梁の座屈荷重です。基本的な計算過程は両端ピンの場合と同じですが、曲げモーメントや境界条件等が異なってきます。


また、kの求め方が少し違うので戸惑ってしまうかもしれませんね。今回は一般解の求め方は省略していますが、計算過程は同じなので、自分で解いてみてくださいね。

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