節点法とは？トラスの軸力の求め方と計算手順

この記事の要点

節点法とは、トラス構造の各節点周りに生じる力（部材力・反力・外力）が水平・鉛直方向ともにつり合う（合計＝0）ことを利用して、各部材の軸力を順番に求める方法。

まず反力を求め、次に未知数が2つ以下の節点から順番に力のつり合い式を解いていくことがポイントで、部材が軸力（圧縮か引張）のみ負担する点を常に意識する。

この記事では、節点法とは何かを整理します。

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節点法はトラス構造の部材に生じる軸方向応力を求める計算方法の１つです。

節点法は

・節点周りに生じる力はつりあう（力の合計がゼロになる）

ことを利用した計算方法です。

たとえば、下図に示すトラス構造の１つの節点まわりの部材を取り出します。

節点に生じる力（部材軸力、反力、外力）を「水平方向、鉛直方向ごと」に力のつり合い式をたて、部材に生じる軸力を求めます。

節点法

今回は

・節点法の意味は？
・節点法の求め方は？
・節点法の解き方の例題

を分かりやすく解説します。

なお、トラス構造物とは、部材を三角形になるようにピン接合で連結したものです。

ピン接合することで部材にはモーメントが発生せず、軸力のみが発生します。トラス構造の仕組みは下記が参考になります。

トラス構造とは？強さの理由・メリット・デメリット・計算法を解説

トラス構造の基礎用語

トラス構造の解き方

トラスには軸力しか発生しません。よってトラス構造物の部材力は、圧縮または引張の軸力を求めることです。

では、どのようにして求めればよいのでしょうか？トラス構造物の部材力を求める方法は2つあります。

節点法

節点法は、節点で部材断面を切断し、反力を求めたように、力のつり合い条件式ΣH=0、ΣV=0を用いて解く方法です。

断面法

断面法は、節点で部材断面を切断し、その左側の鉛直力およびモーメントのつり合いから求める方法です。

せん断力法
モーメント法

断面法には、以上の２種類ありますが、このサイトでは、モーメント法を取り扱います。

モーメント法は、任意の位置で３部材を含むように断面を切断し、求めようとする部材以外の２本の部材の交点でモーメントをとる方法です。

断面法とは？リッター法・クルマン法の計算手順と節点法との違い（例題付き）

節点法とは？

節点法は

・節点周りに生じる力はつりあう（力の合計がゼロになる）

ことを利用した計算方法です。

節点法

水平、鉛直方向ごとに"節点に作用する力の合計がゼロになる"ので、下記の２式（要は力のつり合い式）が得られます。

・∑H＝０
・∑V＝０

上式より、未知数（異なる２本の部材に生じる軸力）が２つまでの場合、節点法により軸力が求められます（連立方程式を解けばよい）。

よって、下図のように３以上の部材本が繋がる節点で、３本とも軸力が分からない場合は、それらの部材の軸力は解けません。

節点法の考え方

つまり、節点法では

・未知数（分からない部材軸力）が２つ以下の節点について，力のつり合いを考える

ことが最大のポイントになります。

トラス構造では節点に３以上の部材が繋がることも多いので、まずは２つ以上の部材がつながる節点から力のつり合いを解いていきます。

これは

・節点法は「力のつり合いを考える順番」が大切

ということです。

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トラス部材に作用する軸力の向き

トラス部材に生じる軸力を求めるうえで"軸力の向きと正負の値"の関係はとても重要です。

トラス部材に生じる軸力の向きは

・節点を基準に考える

ことがポイントです。下図に、部材に生じる軸力（引張力、圧縮力）と外力の向きの関係を示しました。

トラス部材に作用する軸力の向き

上図のように

・引張力の向き　⇒　"節点"を引張る向き
・圧縮力の向き　⇒　"節点"を押す向き

で表します。また、引張力、圧縮力の正負の符号は

・引張力　⇒　＋（正の値）
・圧縮力　⇒　－（負の値）

とします。

節点法の解き方（計算の流れ）

節点法の解き方の流れを下記に示します。

① 支点反力を求める
② 未知数（分からない軸力）が２つ以下の節点を選び、節点、部材、支点に作用する力の向きを仮定する（※一般に軸力は引張力として仮定する）
③ ②の力について、水平、鉛直方向力のつり合い式をたてる（斜め方向の力は鉛直、水平に分解）
④ ③の力のつり合い式を解いて部材に生じる軸力を算定する

それでは上記の流れを用いて例題を解きましょう。

節点法による部材力の計算（例題１）

節点法により下図の例題を解きましょう。

節点法による部材力の計算（例題１）

トラスの部材力を求めるとき、節点まわりの力のつり合いを考えます。

ちなみに、全ての節点を節点法で求める場合、全ての節点に対して力のつり合いを解く必要があり面倒なため、一般的には断面法と併用して使われることが多いです。

トラス構造物の支点反力

前述したように、いきなり３つの未知数を解こうとしても、等式が２つしかないので求めることができません。下図のトラス構造の場合、はじめは支点回りの節点に繋がる部材の軸力から求めます。

支点反力を求める

まずは支点反力を求めます。

支点反力を求める

ΣH=0

水平外力は作用していないので、

です。なお、本例題では∑M＝0の計算は不要です。荷重条件、支持条件ともに左右対称です。支点に作用する反力も左右対称だとわかるので

R_A=P,R_B=P

となります。

力のつり合い式をたてる（節点A）

まずは未知数が2以下の支点まわりの部材の軸力から求めます。前述したように部材に生じる軸力は"引張力（正の値）"として仮定します。

力のつり合い式をたてる（節点A）

上図のように、N1は斜め方向に生じる軸力なので、水平・鉛直方向に分解します。

水平・鉛直方向に分解

水平方向の力のつり合い式は

です。

次に鉛直方向の力のつり合いは

ΣV=0より

となります。

なお、本例題のトラス構造では部材長さは全てLなので角度θ=60°です。sinθ、cosθ、tanθの計算は、あらかじめ数値に変換しておくと便利です。正三角形なので、

になります。あとは、水平方向と鉛直方向の力のつり合い式を解けばよいので

より

ですね。上記のN1はマイナス（－）の値なので「圧縮力」、N2はプラス（＋）の値なので「引張力」です。

以上のように、力のつり合い式をたてることで、トラスの部材力を求めることができました。あとは同様の計算過程で、他の部材力を求めていきます。

力のつり合い式をたてる（節点C）

次に節点Cに繋がる部材について、力のつり合い式をたてて各部材の軸力を求めます。

上図より水平方向の力のつり合い式は

次に鉛直方向の力のつり合いは

です。上式よりN3の値がわかったのでN4の軸力は

になります。

なお、本例題の場合、荷重条件、支持条件が対称なので、その他の部材の軸力は省略ができます（上記の軸力と同様となる）。

全ての部材の軸力

以上の計算より全部材の軸力は下図です。

全ての部材の軸力

また、部材力には圧縮力と引張力の２つが作用します。同じ力でも、圧縮力は座屈が起きるため太い部材が必要です。それぞれ、圧縮材、引張材といいます。下記が参考になります。

それぞれ、圧縮材、引張材といいます。下記が参考になります。

トラス構造の圧縮材と引張材の違い

混同しやすい用語

節点法（せってんほう）

各節点周りの力のつり合いを使ってトラス部材の軸力を1本ずつ順番に求める方法。

節点ごとに水平・鉛直方向のつり合い式を立てる。

断面法がトラスを「切断」して解くのに対し、節点法は「節点」周りに着目して解く。

節点ごとに解くため遠い部材の軸力を直接求めるのは手間がかかるが、全部材を系統的に求めるのに向いている。

断面法（リッター法・クルマン法）

トラスを任意の位置で切断し、切断部材に生じる軸力と支点反力の全体のつり合いから、目的の部材力を直接求める方法。

節点法と異なり、目的の部材までの途中の節点を解かずに目的の部材力を直接求められるため、特定の1本の部材力を素早く求めたい場合に有効。

節点法を整理した表を示します。

項目	内容	備考
節点法の原理	節点周りの力のつり合い（ΣH=0・ΣV=0）から軸力を求める	未知数が2つ以下の節点から解く
解く順番	支点反力を求めた後、支点側の節点から順番に解いていく	手順を守ることが重要
断面法との違い	全部材を系統的に求めるのに向く（断面法は特定部材を直接求める）	目的に応じて使い分ける