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節点法ってなに?節点法でトラスの軸力を求める方法

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節点法はトラス構造の部材に生じる軸方向応力を求める計算方法の1つです。


節点法は

ことを利用した計算方法です。


たとえば、下図に示すトラス構造の1つの節点まわりの部材を取り出します。


節点に生じる力(部材軸力、反力、外力)を「水平方向、鉛直方向ごと」に力のつり合い式をたて、部材に生じる軸力を求めます。

節点法

今回は

を分かりやすく解説します。


なお、トラス構造物とは、部材を三角形になるようにピン接合で連結したものです。


ピン接合することで部材にはモーメントが発生せず、軸力のみが発生します。トラス構造の仕組みは下記が参考になります。

トラス構造とは?1分でわかるメリット、デメリット、計算法

トラス構造の基礎用語

トラス構造の解き方

トラスには軸力しか発生しません。よってトラス構造物の部材力は、圧縮または引張の軸力を求めることです。


では、どのようにして求めればよいのでしょうか?トラス構造物の部材力を求める方法は2つあります。

節点法

節点法は、節点で部材断面を切断し、反力を求めたように、力のつり合い条件式ΣH=0、ΣV=0を用いて解く方法です。

断面法

断面法は、節点で部材断面を切断し、その左側の鉛直力およびモーメントのつり合いから求める方法です。

断面法には、以上の2種類ありますが、このサイトでは、モーメント法を取り扱います。


モーメント法は、任意の位置で3部材を含むように断面を切断し、求めようとする部材以外の2本の部材の交点でモーメントをとる方法です。

断面法とは?1分でわかる意味、リッター法、クルマン法、計算、節点法との違い

節点法とは?

節点法は

ことを利用した計算方法です。

節点法

水平、鉛直方向ごとに"節点に作用する力の合計がゼロになる"ので、下記の2式(要は力のつり合い式)が得られます。

上式より、未知数(異なる2本の部材に生じる軸力)が2つまでの場合、節点法により軸力が求められます(連立方程式を解けばよい)。


よって、下図のように3以上の部材本が繋がる節点で、3本とも軸力が分からない場合は、それらの部材の軸力は解けません。

節点法の考え方

つまり、節点法では

ことが最大のポイントになります。


トラス構造では節点に3以上の部材が繋がることも多いので、まずは2つ以上の部材がつながる節点から力のつり合いを解いていきます。


これは

ということです。

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トラス部材に作用する軸力の向き

トラス部材に生じる軸力を求めるうえで"軸力の向きと正負の値"の関係はとても重要です。


トラス部材に生じる軸力の向きは

ことがポイントです。下図に、部材に生じる軸力(引張力、圧縮力)と外力の向きの関係を示しました。

トラス部材に作用する軸力の向き

上図のように

で表します。また、引張力、圧縮力の正負の符号は

とします。

節点法の解き方(計算の流れ)

節点法の解き方の流れを下記に示します。

それでは上記の流れを用いて例題を解きましょう。

節点法による部材力の計算(例題1)

節点法により下図の例題を解きましょう。

節点法による部材力の計算(例題1)

トラスの部材力を求めるとき、節点まわりの力のつり合いを考えます。


ちなみに、全ての節点を節点法で求める場合、全ての節点に対して力のつり合いを解く必要があり面倒なため、一般的には断面法と併用して使われることが多いです。

トラス構造物の支点反力

前述したように、いきなり3つの未知数を解こうとしても、等式が2つしかないので求めることができません。下図のトラス構造の場合、はじめは支点回りの節点に繋がる部材の軸力から求めます。

支点反力を求める

まずは支点反力を求めます。

支点反力を求める

ΣH=0


水平外力は作用していないので、

H_A=0

ΣV=0

2P-(R_A+R_B )=0

です。なお、本例題では∑M=0の計算は不要です。荷重条件、支持条件ともに左右対称です。支点に作用する反力も左右対称だとわかるので

R_A=P,R_B=P

となります。

力のつり合い式をたてる(節点A)

まずは未知数が2以下の支点まわりの部材の軸力から求めます。前述したように部材に生じる軸力は"引張力(正の値)"として仮定します。

力のつり合い式をたてる(節点A)

上図のように、N1は斜め方向に生じる軸力なので、水平・鉛直方向に分解します。

水平・鉛直方向に分解

水平方向の力のつり合い式は

ΣH=0

N_2+N_1 cosθ=0

です。

次に鉛直方向の力のつり合いは


ΣV=0より

となります。


なお、本例題のトラス構造では部材長さは全てLなので角度θ=60°です。sinθ、cosθ、tanθの計算は、あらかじめ数値に変換しておくと便利です。正三角形なので、

になります。あとは、水平方向と鉛直方向の力のつり合い式を解けばよいので

より

ですね。上記のN1はマイナス(-)の値なので「圧縮力」、N2はプラス(+)の値なので「引張力」です。


以上のように、力のつり合い式をたてることで、トラスの部材力を求めることができました。あとは同様の計算過程で、他の部材力を求めていきます。

力のつり合い式をたてる(節点C)

次に節点Cに繋がる部材について、力のつり合い式をたてて各部材の軸力を求めます。

上図より水平方向の力のつり合い式は

次に鉛直方向の力のつり合いは

です。上式よりN3の値がわかったのでN4の軸力は

になります。


なお、本例題の場合、荷重条件、支持条件が対称なので、その他の部材の軸力は省略ができます(上記の軸力と同様となる)。

全ての部材の軸力

以上の計算より全部材の軸力は下図です。

全ての部材の軸力

また、部材力には圧縮力と引張力の2つが作用します。同じ力でも、圧縮力は座屈が起きるため太い部材が必要です。それぞれ、圧縮材、引張材といいます。下記が参考になります。


それぞれ、圧縮材、引張材といいます。下記が参考になります。

トラス構造の圧縮材と引張材の違い

まとめ

今回は節点法の意味、解き方を解説しました。節点法では

ことを利用した計算方法です。力のつり合い式を理解できれば簡単にトラス部材の軸力が算定できます。


節点法を理解したあとは、断面法について勉強しましょう。下記の記事が参考になります

断面法とは?1分でわかる意味、リッター法、クルマン法、計算、節点法との違い

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