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曲率を表す式と理論式の誘導

たわみを求める前に、曲率を表す式について理解しましょう。実は、たわみを求める微分方程式は曲率と曲げモーメントの関係からなるものです。よって、曲率を表す式の理解は必須です。 下の図を見てください。このような単純梁中央に集中荷重が作用しているモデルを考えます。荷重を加えると、荷重方向にたわむことが明らかです。このたわみを拡大して見てみましょう。



以上のような図を見てください。部材のたわみ曲線を拡大し、たわみの一部分だけを取り出してみます。このときの微小区間をds、たわみをdy、角度をdθ、曲率半径をpとします。実際のたわみは曲線ですが、dsが微小の長さと考えれば、直線として近似することができますね。 さて、たわみ角θの変化率を曲率といいます。よって曲率は
たわみ角θの変化率を曲
ですね。図から見て分かるように、たわみの曲線は直線と近似できますから、
p×=ds
たわみの曲線は直線と近似
です。θ、sはxの関数ですのでxの関数で変換すると、
xの関数で変換
です。このままだと、θやsが混ざって良くわからない式なので、dxやdyの式になるよう変換しましょう。つまり、たわみをdyを含んだ関係式が出来れば、便利ですよね!

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/dxを求めてみましょう。まず、図より次の関係式が得られます。
関係式
さらに、両辺をxで微分すれば、
両辺をxで微分
ですね。このままだと、/dxを求めることができませんので、テクニックを使って式を少しだけ変形しましょう。また、たわみdyは下向きの変位なので、これは−の符号をつけます。
たわみdyは下向きの変位
たわみdyは下向きの変位2
tanθの微分を求めましょう。
tanθの微分
tanθの微分2
次に、dx/dsを求めます。図に示したようにピタゴラスの定理を考えれば、
ピタゴラスの定理
さらに、今後の式を整理しやすいように纏めると、
今後の式を整理しやすいように纏める
です。従って、
今後の式を整理しやすいように纏める2
以上のように、dx,dyの式で表すことができましたので、曲率を表す式は
曲率を表す式
となります。うーん・・・曲率の式には、たわみと定義したdyが入っているし何となく、たわみが求められるような気がしませんか?
次へ→曲げモーメントと曲率の関係

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