曲率を表す式と理論式の誘導

この記事の要点

曲率κ＝1/R（R：曲率半径）であり、梁の変形が小さい場合はκ≒d2y/dx2と近似できる。この近似が成り立つのが「微小変形理論」の前提であり、建築構造計算の大多数はこの線形化した弾性曲線の微分方程式に基づいている点を理解することが重要です。

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たわみを求める前に、曲率を表す式について理解しましょう。

実は、たわみを求める微分方程式は曲率と曲げモーメントの関係からなるものです。よって、曲率を表す式の理解は必須です。

下の図を見てください。このような単純梁中央に集中荷重が作用しているモデルを考えます。荷重を加えると、荷重方向にたわむことが明らかです。このたわみを拡大して見てみましょう。

部材のたわみ曲線を拡大し、たわみの一部分だけを取り出してみます。このときの微小区間をds、たわみをdy、角度をdθ、曲率半径をpとします。実際のたわみは曲線ですが、dsが微小の長さと考えれば、直線として近似することができますね。

さて、たわみ角θの変化率を曲率といいます。よって曲率は

ですね。図から見て分かるように、たわみの曲線は直線と近似できますから、

p×dθ=ds

たわみの曲線は直線と近似

です。θ、sはxの関数ですのでxの関数で変換すると、

です。このままだと、θやsが混ざって良くわからない式なので、dxやdyの式になるよう変換しましょう。つまり、たわみをdyを含んだ関係式が出来れば、便利ですよね！

dθ/dxを求めてみましょう。まず、図より次の関係式が得られます。

さらに、両辺をxで微分すれば、

ですね。このままだと、dθ/dxを求めることができませんので、テクニックを使って式を少しだけ変形しましょう。また、たわみdyは下向きの変位なので、これは－の符号をつけます。

たわみdyは下向きの変位

tanθの微分を求めましょう。

tanθの微分

tanθの微分２

次に、dx/dsを求めます。図に示したようにピタゴラスの定理を考えれば、

さらに、今後の式を整理しやすいようにまとめると、

今後の式を整理しやすいように纏める

です。従って、

今後の式を整理しやすいように纏める２

以上のように、dx,dyの式で表すことができましたので、曲率を表す式は

曲率を表す式

となります。曲率の式には、たわみと定義したdyが入っているし何となく、たわみが求められるような気がしませんか？

次へ→曲げモーメントと曲率の関係

混同しやすい用語

「曲率」と「たわみ」

曲率は梁の各点での曲がりの程度を表す微分量（1/R）。曲げモーメントに比例する。

「弾性曲線」と「たわみ曲線」

弾性曲線（たわみ曲線）は梁が荷重を受けて変形したときの中立軸の形状を表す曲線。曲率をもとに微分方程式を解くことで求められる。

試験での問われ方｜管理人の一言

曲率を表す式にはたわみを表す変数dyが含まれており、これが梁のたわみ微分方程式と直結しています。曲率の理論式を理解することで、たわみの計算体系全体が見えてきます。

曲率と曲げモーメント計算例

条件	値
縦弾性係数 E	2.0×10? N/mm2
断面二次モーメント I	2,000 cm? = 2.0×10? mm?
曲げモーメント M	40 kN・m = 4.0×10? N・mm

曲率：κ = M/(EI) = 4.0×10? / (2.0×10? × 2.0×10?) = 4.0×10? / 4.0×1012 = 1.0×10?? mm?1

曲率半径：R = 1/κ = 1/(1.0×10??) = 100,000 mm = 100 m

→ この梁は曲げモーメントMにより曲率半径100mの曲線として変形していると解釈できる

曲率・曲率半径・たわみの関係比較表

記号	名称	定義・単位	意味
κ（カッパ）	曲率	1/R または M/(EI)、単位 mm?1	曲がりの程度。大きいほど鋭く曲がる
R	曲率半径	R=EI/M、単位 mm	変形を近似円の半径で表す。小さいほど急カーブ
y（またはv）	たわみ	弾性曲線方程式 EI・d2y/dx2=M	梁の変形量（位置ごとに異なる）

よくある誤解

×誤り「曲率半径Rが大きいほど梁がよく曲がっている」→ ○正解曲率半径Rが小さいほど急激に曲がる。Rが大きいとほぼ直線に近い状態（曲率κ=1/Rが小さい）
×誤り「曲率κとたわみyは同じ量を表す」→ ○正解 κは各点での曲がりの程度（微分量）、yは各点での変位量（積分量）。κをEIで割ったものがM/(EI）でありyを2回微分するとκになる
×誤り「EIが大きいと曲率が大きくなる」→ ○正解 κ=M/(EI)より、EIが大きいほど曲率は小さくなる（変形しにくい）

一問一答

Q. E=2.0×10?N/mm2、I=1,000cm?の梁にM=20kN・mが作用するとき、曲率半径Rは？

A. R=EI/M=(2.0×10?×1.0×10?)/(2.0×10?)=2.0×1012/2.0×10?=100,000mm=100m

Q. 曲率κと弾性曲線方程式（微分方程式）の関係を説明せよ

A. 微小変形の仮定（dy/dx≪1）の下で、κ≒d2y/dx2と近似できる。これとκ=M/(EI)を組み合わせると EI・d2y/dx2=M となり、梁のたわみを求める微分方程式が得られる

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