曲率を表す式とは？たわみの微分方程式との関係をわかりやすく解説
この記事の要点
たわみを求める微分方程式は、曲率と曲げモーメントの関係から導かれています。
「なぜM/EIがたわみの式につながるのか」という疑問を解消しておくと、梁のたわみ計算全体の理解が深まります。
この記事では、曲率を表す式の意味とたわみの微分方程式への展開、具体的な計算例を解説します。
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たわみを求める前に、曲率を表す式について理解しましょう。
実は、たわみを求める微分方程式は曲率と曲げモーメントの関係からなるものです。よって、曲率を表す式の理解は必須です。
下の図を見てください。このような単純梁中央に集中荷重が作用しているモデルを考えます。荷重を加えると、荷重方向にたわむことが明らかです。このたわみを拡大して見てみましょう。
部材のたわみ曲線を拡大し、たわみの一部分だけを取り出してみます。このときの微小区間をds、たわみをdy、角度をdθ、曲率半径をpとします。実際のたわみは曲線ですが、dsが微小の長さと考えれば、直線として近似することができますね。
さて、たわみ角θの変化率を曲率といいます。よって曲率は
ですね。図から見て分かるように、たわみの曲線は直線と近似できますから、
p×dθ=ds
です。θ、sはxの関数ですのでxの関数で変換すると、
です。このままだと、θやsが混ざって良くわからない式なので、dxやdyの式になるよう変換しましょう。つまり、たわみをdyを含んだ関係式が出来れば、便利ですよね！
dθ/dxを求めてみましょう。まず、図より次の関係式が得られます。
さらに、両辺をxで微分すれば、
ですね。このままだと、dθ/dxを求めることができませんので、テクニックを使って式を少しだけ変形しましょう。また、たわみdyは下向きの変位なので、これは－の符号をつけます。
tanθの微分を求めましょう。
次に、dx/dsを求めます。図に示したようにピタゴラスの定理を考えれば、
さらに、今後の式を整理しやすいようにまとめると、
です。従って、
以上のように、dx,dyの式で表すことができましたので、曲率を表す式は
となります。曲率の式には、たわみと定義したdyが入っているし何となく、たわみが求められるような気がしませんか？
混同しやすい用語
「曲率」と「たわみ」
曲率は梁の各点での曲がりの程度を表す微分量（1/R）。曲げモーメントに比例する。
「弾性曲線」と「たわみ曲線」
弾性曲線（たわみ曲線）は梁が荷重を受けて変形したときの中立軸の形状を表す曲線。曲率をもとに微分方程式を解くことで求められる。
曲率と曲げモーメント 計算例
| 条件 | 値 |
|---|---|
| 縦弾性係数 E | 2.0×10⁵ N/mm2 |
| 断面二次モーメント I | 2,000 cm⁴ = 2.0×10⁷ mm⁴ |
| 曲げモーメント M | 40 kN・m = 4.0×10⁷ N・mm |
曲率：κ = M/(EI) = 4.0×10⁷ / (2.0×10⁵ × 2.0×10⁷) = 4.0×10⁷ / 4.0×10¹² = 1.0×10⁻⁵ mm⁻¹
曲率半径：R = 1/κ = 1/(1.0×10⁻⁵) = 100,000 mm = 100 m
→ この梁は曲げモーメントMにより曲率半径100mの曲線として変形していると解釈できる
曲率・曲率半径・たわみの関係 比較表
| 記号 | 名称 | 定義・単位 | 意味 |
|---|---|---|---|
| κ（カッパ） | 曲率 | 1/R または M/(EI)、単位 mm⁻¹ | 曲がりの程度。大きいほど鋭く曲がる |
| R | 曲率半径 | R=EI/M、単位 mm | 変形を近似円の半径で表す。小さいほど急カーブ |
| y（またはv） | たわみ | 弾性曲線方程式 EI・d2y/dx2=M | 梁の変形量（位置ごとに異なる） |
よくある誤解
- ×誤り「曲率半径Rが大きいほど梁がよく曲がっている」→ ○正解 曲率半径Rが小さいほど急激に曲がる。Rが大きいとほぼ直線に近い状態（曲率κ=1/Rが小さい）
- ×誤り「曲率κとたわみyは同じ量を表す」→ ○正解 κは各点での曲がりの程度（微分量）、yは各点での変位量（積分量）。κをEIで割ったものがM/(EI）でありyを2回微分するとκになる
- ×誤り「EIが大きいと曲率が大きくなる」→ ○正解 κ=M/(EI)より、EIが大きいほど曲率は小さくなる（変形しにくい）
一問一答
Q. E=2.0×10⁵N/mm2、I=1,000cm⁴の梁にM=20kN・mが作用するとき、曲率半径Rは？
A. R=EI/M=(2.0×10⁵×1.0×10⁷)/(2.0×10⁷)=2.0×10¹²/2.0×10⁷=100,000mm=100m
Q. 曲率κと弾性曲線方程式（微分方程式）の関係を説明せよ
A. 微小変形の仮定（dy/dx≪1）の下で、κ≒d2y/dx2と近似できる。これとκ=M/(EI)を組み合わせると EI・d2y/dx2=M となり、梁のたわみを求める微分方程式が得られる
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理解度チェック
曲率κと曲率半径Rの関係を答えてください。
答えを見る
κ＝1/R です。たわみ角θの変化率を曲率といい、曲率が大きいほど曲率半径Rは小さく（急カーブに）なります。曲率は曲げモーメントに比例します（κ＝M/EI）。
E＝2.0×105N/mm2、I＝2,000cm4、M＝40kN・mのときの曲率と曲率半径を計算してください。
答えを見る
κ＝M/(EI)＝4.0×107/(2.0×105×2.0×107)＝1.0×10-5mm-1。曲率半径 R＝1/κ＝100,000mm＝100m で、この梁は曲率半径100mの曲線として変形していると解釈できます。
曲率半径R・曲率κ・曲げ剛性EIの関係についてよくある誤解を答えてください。
答えを見る
曲率半径Rは小さいほど急激に曲がります（Rが大きいとほぼ直線）。曲率κと変位量yは別物で、κは各点の曲がりの程度（微分量）、yは各点の変位量（積分量）です。またκ＝M/(EI)より、EIが大きいほど曲率は小さくなり変形しにくくなります。
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プロフィール
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- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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