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梁の曲げ応力度と誘導方法

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梁に荷重が作用したとき、曲げモーメントが作用します。これまで、梁の反力を求め、応力を算定する方法を勉強しましたね。まだ勉強していない方は下記を参考にしてください。

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さて、部材の断面算定は、応力度に対して許容応力度を満足させる計算を行います。※許容応力度計算に関しては下記が参考になります。

許容応力度計算が簡単にわかる、たった3つのポイント


では、梁に曲げモーメントが作用したとき、曲げモーメントに対する応力度はどのように計算するのでしょうか。今回は、梁の曲げ応力度について説明します。

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梁の曲げ応力度ってなに?

梁の曲げ応力度とは、梁に曲げモーメントが作用したときの、梁の断面に生じている応力度です。梁の曲げ応力度を計算することで、許容曲げ応力度と比較し部材を選定するのです。

梁の曲げ応力度の式は下式です。


Mは曲げモーメント、Iは断面二次モーメント、Zは断面係数です。つまり、曲げモーメントを断面係数で割れば、曲げ応力度を計算できます。※断面係数に関しては、下記が参考になります。

断面係数とは


では、曲げ応力度の式は、どのように導かれるのでしょうか。

梁の曲げ応力度の誘導方法

さて、梁の曲げ応力度を求める際には以下のような仮定をたてます。

簡単に言えば、面外の外力や変形の影響は無視します、という仮定です。


さて、梁に荷重を加えるとたわんで変形しますね。このとき、梁の一部分を抜き出してみます。すると、以下の図のように考えることができます。ここで、せん断力は作用しないと仮定しています。

梁断面の曲げ図

以上の図から、水平方向の変位から歪を求めると

です。しかし、ちょっと見方を変えてみると曲率半径p、たわみyでも、同じように歪を求めることができるので、

ですね。また、フックの法則から

となり、たわみが生じた点yにおいて以上のような応力が生じていることになります。この応力は、作用させた曲げモーメントMと等しいと考えることができますので、中立軸周りのモーメントのつり合いを考えると、

中立軸周りのモーメントのつり合い

です。以上の式を説明します。


まず、応力を力に直す必要があるので断面に作用している応力σ×微小面積dAです。断面積の大きさだけ積分する必要があるので、∫σdAです。さらに、中立点でのモーメントですので、M=∫σdA×yですね。

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次に、モーメントと曲率の関係式を変形すると、

梁の曲げ応力度を表す式

となり、これが梁の曲げ応力度を表す式となります。また、このときのyは中立軸からの距離を表しています。


図で示している通り、σ1側は部材が引張られている変形をおこしていますので、引張応力度であり正の値です。また、σ2側は縮んでいますので、圧縮されています。これは圧縮応力度であり負の値で表します。


以上のσ1、σ2は中立軸から最も遠いところにおいて生じています。これらを縁応力度と呼んでいます。それぞれ、以下の式で求めます。

縁応力度

まとめ

曲げ応力度はとても重要です。計算方法をはじめ、曲率と曲げモーメントとの関係についても理解しておきましょう。曲率と曲げモーメントとの関係に関しては下記が参考になります。

曲率を表す式と理論式の誘導

曲げモーメントと曲率の関係,理論式の展開

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