梁の曲げ応力度の計算と誘導方法｜公式の意味と建築設計への応用

この記事の要点

梁の設計で「曲げ応力度が許容値以下かどうか」を確認するとき、M/Zという式をどう導いたのかを知っていると、異形断面への応用もスムーズです。

この記事では、梁の曲げ応力度の公式の誘導と、建築設計での具体的な計算例を解説します。

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梁に荷重が作用したとき、曲げモーメントが作用します。これまで、梁の反力を求め、応力を算定する方法を勉強しましたね。まだ勉強していない方は下記を参考にしてください。

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断面力とは？意味・種類・計算・応力との違い

さて、部材の断面算定は、応力度に対して許容応力度を満足させる計算を行います。※許容応力度計算に関しては下記が参考になります。

許容応力度計算意味外力応力度安全率構造設計一次設計

では、梁に曲げモーメントが作用したとき、曲げモーメントに対する応力度はどのように計算するのでしょうか。今回は、梁の曲げ応力度について説明します。

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梁の曲げ応力度ってなに？

梁の曲げ応力度とは、梁に曲げモーメントが作用したときの、梁の断面に生じている応力度です。梁の曲げ応力度を計算することで、許容曲げ応力度と比較し部材を選定するのです。

梁の曲げ応力度の式は下式です。

σ＝M×(ｙ／I)＝M／Z

Mは曲げモーメント、Iは断面二次モーメント、Zは断面係数です。つまり、曲げモーメントを断面係数で割れば、曲げ応力度を計算できます。※断面係数に関しては、下記が参考になります。

断面係数とは

では、曲げ応力度の式は、どのように導かれるのでしょうか。

梁の曲げ応力度の誘導方法

さて、梁の曲げ応力度を求める際には以下のような仮定をたてます。

・梁の断面は鉛直対称軸を持ち、外力はすべて面内に働く場合のつり合いを考えること。

・梁の断面は曲げモーメントのみの作用（純曲げ）を受けていること。

・梁の断面は荷重を受けて変形した後も平面を保つと仮定する（平面保持の仮定）。

簡単に言えば、面外の外力や変形の影響は無視します、という仮定です。

さて、梁に荷重を加えるとたわんで変形しますね。このとき、梁の一部分を抜き出してみます。すると、以下の図のように考えることができます。ここで、せん断力は作用しないと仮定しています。

梁断面の曲げ図

以上の図から、水平方向の変位から歪を求めると

ε=Δdx/dx

です。しかし、ちょっと見方を変えてみると曲率半径p、たわみyでも、同じように歪を求めることができるので、

ε=Δdx/dx=y/p

ですね。また、フックの法則から

σ=Eε=Ey/p

となり、たわみが生じた点yにおいて以上のような応力が生じていることになります。この応力は、作用させた曲げモーメントMと等しいと考えることができますので、中立軸周りのモーメントのつり合いを考えると、

中立軸周りのモーメントのつり合い

です。以上の式を説明します。

まず、応力を力に直す必要があるので断面に作用している応力σ×微小面積dAです。断面積の大きさだけ積分する必要があるので、∫σdAです。さらに、中立点でのモーメントですので、M=∫σdA×yですね。

次に、モーメントと曲率の関係式を変形すると、

梁の曲げ応力度を表す式

となり、これが梁の曲げ応力度を表す式となります。また、このときのyは中立軸からの距離を表しています。

図で示している通り、σ1側は部材が引張られている変形をおこしていますので、引張応力度であり正の値です。また、σ2側は縮んでいますので、圧縮されています。これは圧縮応力度であり負の値で表します。

以上のσ1、σ2は中立軸から最も遠いところにおいて生じています。これらを縁応力度と呼んでいます。それぞれ、以下の式で求めます。

縁応力度

混同しやすい用語

曲げ応力度（σ）

曲げモーメントによって断面に生じる引張・圧縮の応力度のこと。σ=M/Zで求められ、中立軸からの距離に比例する。

縁応力度

断面の最外縁（中立軸から最も遠い点）における曲げ応力度のこと。断面内で最大の曲げ応力度となる。

梁の曲げ応力度を整理した表を示します。

項目	内容	ポイント
曲げ応力度の定義	曲げモーメントにより断面に生じる引張・圧縮の応力度	σ = M/Z（Zは断面係数）で計算する
応力度の分布	中立軸からの距離に比例して変化	最外縁（縁応力度）で最大となる
平面保持の仮定	変形後も断面は平面を保つと仮定	曲げ応力度の誘導に不可欠な前提条件