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両端固定柱の座屈荷重の計算式と導出方法

さて、次の図を見てください。この長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態です。この柱は座屈を起こし、yの変形をおこしているとします。この状態で弾性曲線式を解き、座屈荷重を求めましょう。また、この図では下方向を正のy、右方向を正のxとしています。
長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態
この場合、赤点での曲げモーメントは、
赤点での曲げモーメント
です。
弾性曲線式は以下のように示されます。
弾性曲線式
曲げモーメントは
曲げモーメント
です。よって、

計算を行いやすくするために、
微分方程式(斉次方程式)
微分方程式(斉次方程式)2
とします。このような微分方程式(斉次方程式)を解く場合、解のyを以下のように仮定して解きます。
既に、解き方は示しているので(オイラー座屈)ここでは計算過程を省略しますね。一般解は、
オイラー座屈

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さて、目的は座屈荷重を求めることです。まずは境界条件によって定数を求めましょう。
境界条件は
x=0,y=0
x=l,dy/dx=0
境界条件で求める
です。以上より、
境界条件で求める2
このままでは、yが決定されません。しかし、x=l,y=0=dy/dxなので、
境界条件で求める3
です。
よって、以上の式を満たすklは次のように
klを求める
ですから、座屈荷重は
両端固定の座屈荷重
以上の式が、両端固定の座屈荷重です。基本的な計算過程は両端ピンの場合と同じですが、
曲げモーメントや境界条件等が異なってきます。比較的簡単な計算なので、自分で解いてみてくださいね。

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