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両端固定柱の座屈荷重の計算式と導出方法

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さて、次の図を見てください。この長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態です。この柱は座屈を起こし、yの変形をおこしているとします。この状態で弾性曲線式を解き、座屈荷重を求めましょう。また、この図では下方向を正のy、右方向を正のxとしています。

長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態

この場合、赤点での曲げモーメントは、

です。

弾性曲線式は以下のように示されます。

弾性曲線式

曲げモーメントは

です。よって、

計算を行いやすくするために、

微分方程式（斉次方程式）２

とします。このような微分方程式（斉次方程式）を解く場合、解のyを以下のように仮定して解きます。既に、解き方は示しているので（オイラー座屈）ここでは計算過程を省略しますね。一般解は、

さて、目的は座屈荷重を求めることです。まずは境界条件によって定数を求めましょう。境界条件は

境界条件で求める

です。以上より、

このままでは、yが決定されません。しかし、x=l,y=0=dy/dxなので、

です。よって、以上の式を満たすklは次のように

klを求める

ですから、座屈荷重は

両端固定の座屈荷重

以上の式が、両端固定の座屈荷重です。基本的な計算過程は両端ピンの場合と同じですが、曲げモーメントや境界条件等が異なってきます。比較的簡単な計算なので、自分で解いてみてくださいね。

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名前　ハナダユキヒロ/MITUME lab主宰.（筆者のコラムはこちら）
2010年　弊サイトを開設
2010～2017年　国立大学大学院修了
2017年12月に当HPが書籍化。
「わかる構造力学」
2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
「わかる構造力学(改訂版)」

10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。

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