両端固定柱の座屈荷重｜オイラー式の計算方法と導出手順を解説

この記事の要点

柱の座屈設計で両端固定と両端ピンでは座屈長さが大きく違う。

両端固定は有効長さが実長の0.5倍になるため、同じ長さでも座屈荷重が大きくなる。

支持条件の違いを理解しておかないと設計が安全側になり過ぎたり危険側になったりする。

この記事では両端固定柱の座屈荷重の計算式・オイラー式の導出方法・両端ピン柱との比較を解説する。

両端固定は最も座屈しにくい支持条件の一つで、片持ち柱（lk＝2L）と比べると16倍の座屈荷重が得られる。

固定端の数が多いほど座屈強度が高くなる関係を整理しておくことが重要。

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さて、次の図を見てください。この長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態です。この柱は座屈を起こし、yの変形をおこしているとします。この状態で弾性曲線式を解き、座屈荷重を求めましょう。また、この図では下方向を正のy、右方向を正のxとしています。

長柱に圧縮荷重を作用させた場合の状態

この場合、赤点での曲げモーメントは、

です。

弾性曲線式は以下のように示されます。

弾性曲線式

曲げモーメントは

です。よって、

計算を行いやすくするために、

微分方程式（斉次方程式）２

とします。このような微分方程式（斉次方程式）を解く場合、解のyを以下のように仮定して解きます。既に、解き方は示しているので（オイラー座屈）ここでは計算過程を省略しますね。一般解は、

さて、目的は座屈荷重を求めることです。まずは境界条件によって定数を求めましょう。境界条件は

境界条件で求める

です。以上より、

このままでは、yが決定されません。しかし、x=l,y=0=dy/dxなので、

です。よって、以上の式を満たすklは次のように

klを求める

ですから、座屈荷重は

両端固定の座屈荷重

以上の式が、両端固定の座屈荷重です。基本的な計算過程は両端ピンの場合と同じですが、曲げモーメントや境界条件等が異なってきます。比較的簡単な計算なので、自分で解いてみてくださいね。

混同しやすい用語

両端固定の座屈（固定－固定）

両端が完全固定の柱。

有効座屈長さ lk＝L/2（部材長の半分）で、座屈荷重は両端ピンの4倍。

反曲点が柱の中間に2か所生じる形で座屈する。

両端ピンの座屈（ピン－ピン）

両端がピン支持（回転自由）の柱。

有効座屈長さ lk＝L（部材長と等しい）で、座屈計算の基本形。

他の条件と比較する際の基準として用いられることが多い。

両端固定柱の座屈荷重計算例

条件	値
縦弾性係数 E	2.0×10⁵ N/mm2（鋼材）
断面二次モーメント I	1,000 cm⁴ = 1.0×10⁷ mm⁴
部材長 L	4,000 mm
端部条件	両端固定（lk = L/2）

有効座屈長さ：lk = L/2 = 4,000/2 = 2,000 mm

座屈荷重：Pe = π2EI/lk2 = π2×(2.0×10⁵)×(1.0×10⁷) / (2,000)2

= (9.87×2.0×10¹²) / 4.0×10⁶ ≒ 4,935 kN

参考：同条件で両端ピン（lk=L=4,000 mm）の場合は Pe ≒ 1,234 kN → 両端固定は 4倍の座屈強度

端部条件別の座屈荷重比較表

端部条件	有効座屈長さ lk	Pe（両端ピン比）
両端固定	L/2	4倍
一端固定・他端ピン	約0.7L	約2倍
両端ピン（基準）	L	1倍（基準）
一端固定・他端自由（片持ち）	2L	1/4倍

よくある誤解

×誤り「両端固定の lk は L と同じ」→ ○正解 lk = L/2。固定端が増えるほど lk は小さくなり Pe は増加する
×誤り「Pe は lk に比例する」→ ○正解 Pe ∝ 1/lk2（2乗に反比例）。lk が半分になると Pe は4倍になる
×誤り「両端固定と両端ピンの Pe の差は2倍」→ ○正解 4倍。lk の2乗が効くため差が大きい

一問一答

Q. E=2.0×10⁵ N/mm2、I=500 cm⁴、L=3,000 mm の両端固定柱の Pe は？

A. lk=L/2=1,500 mm。Pe=π2×(2.0×10⁵)×(5.0×10⁶)/(1,500)2 ≒ 4,386 kN

Q. 上記の柱を両端ピンに変えると Pe はどう変わるか？

A. lk が 1,500 mm から 3,000 mm（2倍）になるため Pe は 1/4 倍 → 約 1,097 kN になる

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理解度チェック

両端固定柱の座屈長さと、両端ピンと比べた座屈荷重を答えてください。

答えを見る

有効座屈長さは lk＝L/2（部材長の半分）です。座屈荷重は両端ピンの4倍で、反曲点が柱の中間に2か所生じる形で座屈します。最も座屈しにくい支持条件の一つです。

両端固定柱（E＝2.0×10⁵N/mm²、I＝1000cm⁴、L＝4000mm）の座屈荷重を計算してください。

答えを見る

lk＝L/2＝2000mm。Pe＝π²EI/lk²＝π²×(2.0×10⁵)×(1.0×10⁷)/(2000)²≒4,935kN です。同条件の両端ピン（lk＝4000mm）では約1,234kNで、両端固定はその4倍です。

支点条件と座屈荷重の関係でよくある誤解を答えてください。

答えを見る

Peはlkに比例ではなく lk² に反比例（Pe∝1/lk²）します。lkが半分になるとPeは4倍になり、両端固定と両端ピンの差は2倍ではなく4倍です。固定端が増えるほどlkは小さくPeは増加します。

この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学わかる構造力学（改訂版）

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