静定トラスとは？節点法・切断法の計算手順と不静定トラスとの見分け方（例題付き）

この記事の要点

トラス構造の計算では、まず「静定か不静定か」を判定することが出発点です。

静定トラスは力の釣り合いだけで全部材の軸力が求まるため、切断法・節点法で計算できます。

不静定トラスは余分な部材が加わり、変形の適合条件が必要になります。

このページでは静定・不静定の判定式m+r=2kの使い方と、節点法・切断法の手順を例題付きで整理します。

不静定トラスとの違いは「つり合い式だけで解けるか否か」であり、部材数・節点数・反力数の関係で判別できます。

この記事では、静定トラスとは何か、不静定トラスとどう違うのか、部材力はどう計算するのかを整理します。

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静定トラスは、力の釣り合いだけで各部材の軸力（部材力）が求まる形式です。

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静定トラスとは？

「トラス」だから難しく考える必要はありません。

静定梁や静定ラーメンと同じ意味です。

今回は、静定トラスの意味や計算法、不静定トラスの違いについて説明します。

※トラス構造の意味は下記が参考になります。

トラス構造とは？強さの理由・メリット・デメリット・計算法を解説

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静定トラスとは？

静定トラスとは、「力の釣り合いだけ」で各部材の軸力が計算できる構造形式です。

WEB記事では難しく説明される場合も多いですが、上記を頭に入れておけば大丈夫です。さて、「力の釣り合いだけで計算できる」とは、下記を満たす構造物をいいます。

・反力の未知数が3つ以下

よって静定トラスは、

反力の未知数が3以下のトラス

です。

力の釣り合いとは、下式の3つです。

ΣＨ＝０

ΣＶ＝０

ΣＭ＝０

これは外力と反力の総和が０になる、ことを意味します。ΣＨは水平方向力の合計、ΣＶは鉛直方向力の合計、ΣＭはモーメントの合計です。3つの未知数に対して、3つの「力の釣り合い式」があるため、解（反力）を導くことが可能です。

梁の計算で勉強した理論と全く同じですね。力の釣り合いについては、下記が参考になります。

反力ってなに？反力の求め方と支点反力

仮に複雑に部材が組まれたトラスがあります（下図をみてください）。何となく不静定トラス勘違いしそうですが、反力の未知数が3つなので静定トラスです。

複雑なトラス

静定トラスの例を下記に示します。

静定トラスその1

静定トラスその2

静定トラスを見分けるポイントは「支点」だけです。静定トラスの意味が分かって頂けたと思います。

不静定トラスとは？

不静定トラスは、「力の釣り合いだけでは解けないトラス」です。

トラスの中には「不安定なトラス」もあるので、ありがちな「静定トラス以外が不静定トラス」という表現は間違いです。

両端固定のトラス、片側固定―片側ピン支点のトラスなどが不静定トラスに該当します。反力の未知数が4以上の場合、不静定トラスに該当します。

不静定トラスの例を下図に示します。

不静定トラスの例1

不静定トラスの例2

静定トラスと不静定トラスの違い

以上、静定トラスと不静定トラスの意味が理解頂けたと思います。両者の違いは、下記の1だけです。覚えておきましょう。

・反力数が3つ以上　⇒静定トラス

・反力数が4つ以上　⇒不静定トラス

静定トラスの計算法

では静定トラスは、どのように計算するのでしょうか。一般的に、計算方法は下記の2つです。

・節点法

・断面法

2つとも、トラスの部材力を計算する便利な方法ですが、まずは節点法から勉強すると良いです。節点法とは、外力（反力）と、鉛直・水平方向の応力の力の釣り合い（ΣＨ＝０、ΣＶ＝０）を解く方法です。

断面法とは、ΣＨ＝０、ΣＶ＝０、ΣＭ＝０の釣り合いより部材力を解く方法です。それぞれの計算方法は下記が参考になります。

節点法とは？トラスの軸力の求め方と計算手順

断面法でトラスの軸力を求める方法

また、静定トラスの支点反力を求める方法は、「梁の反力の計算」と同じです。例えば、下図のトラスの支点反力を計算します。

トラスの支点反力

中央に集中荷重が作用するトラスで、片側ピン、片側ローラー支点です。「梁」ではなく「トラス」なので悩みそうですが、反力の計算は変わりません。支点の未知数を下式として仮定します。

ΣV＝0

Ra+Rb=P

ΣH＝0

H=0

ΣM＝0

P×L／2－L×Rb＝0

Rb＝P／2

以上より

Rb＝P／2

トラスの部材力は、上記の反力を元に算定します。節点法で解く場合、支点周りの部材力から求めます（反力が既知のため、部材力が解ける）。

不静定トラスの計算法

不静定トラスの計算は、力の釣り合いだけでは解けません。そこで変位の釣り合い、エネルギーの釣り合いなどから計算します。マトリクス変位法も、不静定トラスの解法として一般的です（計算プログラムは、変位法が多いです）。

不静定トラスの解き方は今回省略しますが、まずは「不静定梁」の解き方から学ぶことをおすすめします。

不静定梁の計算は、下記が参考になります。

不静定連続梁の解法｜仮想仕事の原理を使った計算手順をわかりやすく解説

混同しやすい用語

静定トラス

支点の反力未知数が3以下で、力のつり合い式（節点法・断面法）で部材力が解けるトラス構造。

不静定トラスに対して計算が容易で、「m+r-2k=0」（m:部材数、r:反力数、k:節点数）で判別できる。

不静定トラス

「m+r-2k>0」となるトラスで、力のつり合い式だけでは部材力を決定できない。

余剰部材が存在する。

静定トラスに対して計算は複雑だが冗長性が高く、一部部材が損傷しても崩壊しにくい特性がある。

静定トラスと不静定トラスを整理した表を示します。

項目	内容	備考
静定トラスの条件	反力未知数が3以下。m+r-2k=0で判別	節点法・断面法で部材力が計算できる
不静定トラスの条件	反力未知数が4以上。m+r-2k>0で判別	変位の釣り合いやマトリクス変位法が必要
計算法	節点法（ΣH=0、ΣV=0）と断面法（ΣM=0含む）	まず節点法から学ぶと理解しやすい