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不静定連続梁の解法

次の連続梁における反力と曲げモーメントを求めます。このような不静定構造物を解く場合、つり合い式だけでは無理です。よって、弾性変形の関係やエネルギーの関係を使って方程式の数を増やす必要があるのです。


以上のように、不静定梁を解く方法の1つとして仮想仕事の原理が挙げられます。今回は、この手法を用いて、問題を解きましょう。※また、不静定構造物の解き方に関しては、下記の記事が参考になります。


不静定梁を仮想仕事の原理で解く方法

下図に示す不静定梁を、仮想仕事の原理を使って解きましょう。

さて、いきなり上図のような問題を解くのは難しいかもしれないので、順序を追って解決していきましょう。下図のようなグレードダウンした連続梁を考えます。この連続梁も不静定梁ですね。


まず、仮想仕事の原理で不静定梁を解く場合、以下の順序で計算を行います。なお、仮想仕事の原理自体については、ここであえて説明しませんので、あしからず。


では、以上の計算順序を追っていきます。


1. 不静定梁から不静定力を解除して基本静定系とする。

どの支点を解除して静定系としてもOKですが、不安定構造物にならないように注意しなければいけません。


2. 実際の荷重を作用させた基本静定系の曲げモーメントを求める。

さて、この静定構造物の反力は、

AB間の曲げモーメントは、

BC間の曲げモーメントは、外力が作用していない部材なので0となりますね。


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3. 基本静定系に解除した1系の構造物に単位荷重の不静定力を作用させて曲げモーメントを求める。

さて、この静定構造物の反力は、

AB間の曲げモーメントは、

BC間の曲げモーメントは、


以上、基本系と1系の曲げモーメントを整理すると、


4. 基本系と不静定力を作用させた1系から、仮想仕事の原理を用いて不静定力を作用させた点での変形を求める。

さて、ここで仮想仕事の原理をつかって変形を求めましょう。まず、実際の外力が作用したときの変形量と単位荷重が作用したときの変形を、それぞれ求めます。


5. 適合条件式から不静定力を求める。

C点での変形は、分解した基本系と1系の重ね合わせによって求めることができます。よって、

です。さらに、実際は支点での変形は0ですね(また添字の意味がわからない人は、相反作用の定理等を勉強するとわかると思います)。よって、

てな感じで、不静定力、つまりC点の反力を求めることができましたね。


練習問題

さて、本題はこちらです。先ほどの構造物は1次不静定構造物でしたので、簡単に考えることができました。この構造物は、水平反力が作用していないことから、3次不静定構造物ですね。でも、解き方は同じです。順を追って計算方法を説明します。実際の計算は、自分でやってみましょう!

まず、復習で仮想仕事の原理で不静定梁を解く場合、重要なポイントは以下のように、


1. 不静定梁から不静定力を解除して基本静定系とする。

2. 実際の荷重を作用させた基本静定系の曲げモーメントを求める。

3. 基本静定系に解除した1系の構造物に単位荷重の不静定力を作用させて曲げモーメントを求める。

4. 基本系と不静定力を作用させた1系から、仮想仕事の原理を用いて不静定力を作用させた点での変形を求める。

5. 適合条件式から不静定力を求める。

となります。


1. 不静定梁から不静定力を解除して基本静定系とする。

さて、この場合も不安定構造物(ローラーだけも不安定構造物ですよ!)にならないように邪魔な不静定力を解除します。


2. 実際の荷重を作用させた基本静定系の曲げモーメントを求める。

まずは、この場合の曲げモーメントを求めましょう。つまり、AB間、BC間、CD間、DE間の曲げモーメントを求める必要があります。


3. 基本静定系に解除した1系の構造物に単位荷重の不静定力を作用させて曲げモーメントを求める。

の場合となりますね。


4. 基本系と不静定力を作用させた1系から、仮想仕事の原理を用いて不静定力を作用させた点での変形を求める。

仮想仕事の原理を用いて、不静定力を作用させた、それぞれの点について変形量を求めます(かなり面倒ですね)。


5. 適合条件式から不静定力を求める。

変形は、分解した基本系と1-3系の重ね合わせによって求めることができます。よって、

です。さらに、実際は支点での変形は0ですね(また添字の意味がわからない人は、相反作用の定理等を勉強するとわかると思います)。よって、

あとは、未知数が3つに対して3つの方程式があるので、以上の式を連立方程式より解けば不静定力を求めることができますね。


まとめ

今回は不静定梁を仮想仕事の原理で解く方法について説明しました。不静定梁を解く方法は、仮想仕事の原理だけではありません。下記の記事も参考にしてください。

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