不静定連続梁の解法

この記事の要点

不静定連続梁は、静的釣り合い条件だけでは反力や応力を決定できない不静定構造物。余剰拘束を余剰反力として仮定し、仮想仕事の原理などで解く。

解法の手順は①余剰反力を仮定 → ②静定基本系を作る → ③変位条件（適合条件）を使って余剰反力を決定する、の3ステップ。

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次の連続梁における反力と曲げモーメントを求めます。このような不静定構造物を解く場合、つり合い式だけでは無理です。

よって、弾性変形の関係やエネルギーの関係を使って方程式の数を増やす必要があるのです。

以上のように、不静定梁を解く方法の１つとして仮想仕事の原理が挙げられます。

今回は、この手法を用いて、問題を解きましょう。※仮想仕事の原理、不静定梁、不静定構造物については、下記が参考になります。

仮想仕事の原理

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静定構造物と不静定構造物の違いと特徴

不静定梁を仮想仕事の原理で解く方法

下図に示す不静定梁を、仮想仕事の原理を使って解きましょう。

さて、いきなり上図のような問題を解くのは難しいかもしれないので、順序を追って解決していきましょう。

下図のようなグレードダウンした連続梁を考えます。この連続梁も不静定梁ですね。

まず、仮想仕事の原理で不静定梁を解く場合、以下の順序で計算を行います。

１.　不静定梁から不静定力を解除して基本静定系とする。
２.　実際の荷重を作用させた基本静定系の曲げモーメントを求める。
３.　基本静定系に解除した1系の構造物に単位荷重の不静定力を作用させて曲げモーメントを求める。
４.　基本系と不静定力を作用させた1系から、仮想仕事の原理を用いて不静定力を作用させた点での変形を求める。
５.　適合条件式から不静定力を求める。

では、以上の計算順序を追っていきます。※仮想仕事の原理については、下記が参考になります。

仮想仕事の原理

仮想仕事とは？1分でわかる意味、たわみ、構造力学、仮想仕事の原理との関係

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１.　不静定梁から不静定力を解除して基本静定系とする。

どの支点を解除して静定系としてもOKですが、不安定構造物にならないように注意しなければいけません。

２.　実際の荷重を作用させた基本静定系の曲げモーメントを求める。

さて、この静定構造物の反力は、

AB間の曲げモーメントは、

BC間の曲げモーメントは、外力が作用していない部材なので0となりますね。※曲げモーメント、外力については、下記が参考になります。

曲げ応力とは？1分でわかる意味、公式と演習問題、単位、曲げ応力度との違い

外力とは？1分でわかる意味、読み方、応力や内力、反力との違い、摩擦力との関係

３.　基本静定系に解除した1系の構造物に単位荷重の不静定力を作用させて曲げモーメントを求める。

さて、この静定構造物の反力は、

AB間の曲げモーメントは、

BC間の曲げモーメントは、

以上、基本系と1系の曲げモーメントを整理すると、

４.　基本系と不静定力を作用させた1系から、仮想仕事の原理を用いて不静定力を作用させた点での変形を求める。

さて、ここで仮想仕事の原理をつかって変形を求めましょう。

まず、実際の外力が作用したときの変形量と単位荷重が作用したときの変形を、それぞれ求めます。

５.　適合条件式から不静定力を求める。

C点での変形は、分解した基本系と1系の重ね合わせによって求めることができます。よって、

です。さらに、実際は支点での変形は0ですね。※添字については、下記が参考になります。

総和規約とは

よって、

というかたちで、不静定力、つまりC点の反力を求めることができました。

練習問題

さて、本題はこちらです。先ほどの構造物は1次不静定構造物でしたので、簡単に考えることができました。

この構造物は、水平反力が作用していないことから、3次不静定構造物ですね。でも、解き方は同じです。

順を追って計算方法を説明します。実際の計算は、自分でやってみましょう！

まず、復習で仮想仕事の原理で不静定梁を解く場合、重要なポイントは以下５点です。

１.　不静定梁から不静定力を解除して基本静定系とする。

２.　実際の荷重を作用させた基本静定系の曲げモーメントを求める。

３.　基本静定系に解除した1系の構造物に単位荷重の不静定力を作用させて曲げモーメントを求める。

４.　基本系と不静定力を作用させた1系から、仮想仕事の原理を用いて不静定力を作用させた点での変形を求める。

５.　適合条件式から不静定力を求める。