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たわみの微分方程式は？導出、単純梁、片持ち梁のたわみの微分方程式と境界条件

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たわみの微分方程式は「d2y/dx2＝－M/EI」です。Ｍは曲げモーメント、Ｅはヤング率、Ｉは断面二次モーメントです。よって、たわみは曲げモーメントの式を２重積分すれば算定できます。今回は、たわみの微分方程式、導出、単純梁、片持ち梁のたわみの微分方程式と境界条件について説明します。たわみ、梁のたわみを求める方法の詳細は下記が参考になります。

たわみとは？1分でわかる意味、求め方、公式、単位、記号、計算法

梁のたわみを求める方法

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たわみの微分方程式は？導出は？

たわみの微分方程式は

です。Ｍは曲げモーメント、Ｅはヤング係数、Ｉは断面二次モーメント（E、Iは定数）です。よって、曲げモーメントの式を2重積分すれば、たわみyを算定できます。では、前述に示した「たわみの微分方程式」を導出します。

たわみを求める微分方程式は曲率と曲げモーメントの関係からなります。下図に示すように曲げモーメントのみ作用してたわみが生じる梁を考えます。

梁の一部を取り出して拡大すると、梁は下側で伸び上側は圧縮されます。このとき「平面保持の仮定」より図のAB断面、CD断面は変形後も平面かつ中立軸と直交すると考えます。

上図に示すような微小部分の梁の長さ（A'-D間）をdxとします。さらに、長さdxや伸びは曲線ですが微小であるため直線とすれば、図のような変形図として示されます。中立軸から任意の点ｙにおける伸び量をΔdxとするとき、元の長さdxからΔdxの伸びが生じるときのひずみは

です。相似の関係より上式は曲率半径ρ、たわみyを用いて

です。また 応力度σとひずみεの関係より

となり、点yにおける微小断面dAに上式の応力度σが生じることになります（下図）。図のように曲げ応力度は中立軸（応力度が0となる軸）を境に上側に圧縮応力度、下側に引張応力度が生じます。

さて、梁には曲げモーメントＭのみ作用しており軸力Ｎは0だから、力のつりあいを考えると下式の全断面積についてΣH＝Ｎ＝0が成り立ちます。

Ｅとρは定数なのでＮ＝0のとき∫ydA=0となります。つまり、断面一次モーメント（∫ydA）が0であることを意味します。図心周りの断面一次モーメントは0なので、上式が成り立つとき中立軸と図心軸は一致します。逆にいえばＮ≠0の場合、中立軸は図心と一致しません。

さらに、曲げモーメントＭは中立軸における応力度によるモーメントの総和に等しいので

となります。∫y2dAは断面二次モーメントなので

が得られます。1/ρは曲率を意味するので上式を曲率について整理すると

となり、前述の式は曲率と曲げモーメントの関係を示します。さらに曲率を表す式との関係を整理すると

が得られます。上式のようにたわみ曲線を求める微分方程式（たわみの微分方程式）が導出できました。

曲率を表す式と理論式の誘導

単純梁、片持ち梁のたわみの微分方程式と境界条件は？

前述した「たわみの微分方程式」を用いて梁のたわみを求めます。梁のたわみを求める手順を示します。

１．曲げモーメントを求める

２．曲げモーメントを微分方程式に代入し積分を行う

３．支持条件を与えて積分定数を求める

４．たわみの最大値を求める

なお、梁の曲げモーメントを求める方法は解説済みなので省略します。下図に示す梁のたわみを求めます。

曲げモーメントは下記の通りです。

[0から L/2の区間]

Mx ＝ Px /2

[L/2から Lの区間]

Mx ＝P (L－x)/2

上記の区間について微分方程式を解きます。まず、0から L/2の区間について下式に曲げモーメントを代入すると

上式の両辺について1回積分すると

となります。上式はたわみ角を表します。上式をさらに１回積分すると

です。

次にL/2から L区間について求めます。微分方程式に曲げモーメントを代入すると

L－x=uと置き換えると

となるので両辺を積分すると

また、同様の手順でさらに1回積分すると

を得ます。

積分定数（未知数）が４つあるので境界条件（支持条件）と連続条件（関数の連続性）を用いて解きます。まず、支点にはたわみは発生しないので境界条件は以下のように、

x=0、y1=0（0からL/2の区間）

x=L、y2=0 （L/2からLの区間）

です。以上の条件より

です。連続条件は荷重より左側のたわみy1と荷重より右側のたわみy2に共通した条件です。いずれの場合も長さL/2とき、たわみ、たわみ角ともに同様の値です。

x=L/2、y1= y2より

x= L/2、θ1=θ2より

となります。以上よりA、Cを含む２式の連立方程式を解くと

です。さらにAおよびCを代入すると、たわみ曲線の式は

となります。

たわみとは？1分でわかる意味、求め方、公式、単位、記号、計算法

さて、梁に生じるたわみの最大値はどの位置になるかは、数学の極大値、極小値を求める方法を使います。下記に手順を示します。

１．たわみの式を1回微分する。

２．1回微分して得られた式=0としてxの値を計算する。

y1のたわみを1回微分すると

上記よりx=L/2の地点で最大のたわみが発生します。たわみ曲線の式にx=L/2を代入して、たわみの最大値を求めると

です。

次は図に示す片持ち梁のたわみを求めます。

0からLの区間に生じる曲げモーメントは

です。式に曲げモーメントを代入すると、

式の両辺を積分すると

です。支点のたわみは0なのでx=0、y1=0となり固定端では回転はしないためx=0、θ1=0になります。よって

になります。以上より、たわみとたわみ角は

です。x=Lのたわみ及びたわみ角は最大となるので

です。片持ち梁のたわみの導出方法は下記が参考になります。

片持ち梁のたわみを求める方法

まとめ

今回は、たわみの微分方程式について説明しました。たわみの微分方程式は「d2y/dx2＝－M/EI」です。Mは曲げモーメント、Eはヤング係数、Iは断面二次モーメントで、EとIは定数です。よって、xの関数である曲げモーメントの式を二重積分すれば、たわみyが算定できます。たわみの意味、梁のたわみを求める方法の詳細など下記も勉強しましょう。

たわみとは？1分でわかる意味、求め方、公式、単位、記号、計算法

梁のたわみを求める方法

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• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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