たわみ曲線とは？微分方程式と単純梁のたわみ曲線の書き方
この記事の要点
たわみ曲線とは、梁が荷重を受けて変形したときの形状を表す曲線です。
梁の軸に沿ったたわみy（x）を関数で表したもので、EI・d²y/dx²=Mの微分方程式で求められます。
単純梁（両端支持）では、境界条件として「x=0とx=Lでy=0（たわみゼロ）」を用いて方程式を解きます。
たわみ曲線を図に描く際は、荷重点でたわみが最大・支点でたわみがゼロ・変曲点で曲率が逆転する点に注意します。
たわみ曲線の形状（放物線・3次曲線など）は荷重条件と支持条件によって異なり、境界条件の設定が正確な式の導出に不可欠。
この記事では、たわみ曲線とは何か、微分方程式と境界条件とどう関係するのかを整理します。
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たわみ曲線とは、梁の曲げモーメントによる変形（たわみ）を表す曲線です。
たわみを求める公式は、たわみ曲線を元に計算しています。たわみ曲線は微分方程式を解くことで求めます。またたわみ曲線を弾性曲線ともいいます。
今回は、たわみ曲線の意味、単純梁の式、書き方、微分方程式と境界条件の関係について説明します。たわみ曲線と微分方程式の解き方など、下記が参考になります。
たわみ曲線とは？
たわみ曲線とは、梁の曲げモーメントによる変形（たわみ）を表す曲線です。たわみ曲線の式は微分方程式を解くことで得られます。下式がたわみ曲線を求める微分方程式です。
Mは曲げモーメントの式を意味します。曲げモーメントの式は、荷重・支持条件で変わります。
単純梁と片持ち梁では曲げモーメントの式が違うので、当然、たわみ曲線の式も違います。
たわみ曲線を求める微分方程式は２階微分の式です。よって、たわみを求めるためには積分を2回行います。たわみ曲線の微分方程式の解き方は下記をご覧ください。
下図をみてください。梁のたわみ曲線を描きました。たわみ曲線の一部を取り出すと、単なる直線の傾きです。よって微小直線の傾きを積分すれば曲線を求めることが可能です。
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単純梁のたわみ曲線の式
単純梁のたわみ曲線の式を下記に示します。なお荷重条件は、集中荷重と等分布荷重の場合です。
中央集中荷重のたわみ曲線の式
上式の導出の流れは、下記をご覧ください。
等分布荷重のたわみ曲線の式
上式の導出の流れは下記をご覧ください。
上式のｘに距離を代入すれば、たわみの公式が求められます。例えばスパン中央（＝L/2）を代入すれば最大たわみの値ですね。たわみの公式は下記をご覧ください。
たわみ曲線の書き方
たわみ曲線を描くときは、ｘに数値などを代入して計算します。曲線の大まかな形を知りたいなら、
両端の位置
スパンの中央
荷重の作用位置
のたわみを求めるとよいでしょう。
たわみ曲線と微分方程式、境界条件の関係
たわみ曲線は微分方程式を解くことで得られます。もう一度、下式をみてください。
Mは曲げモーメントの式です。下図をみてください。単純梁と片持ち梁を示しました。境界条件（支持条件）が違えばMの式も違います。
混同しやすい用語
たわみ曲線
梁の変形後の軸線の形状を連続関数y(x)で表したもので、微分方程式を解いて得られ、各点のたわみ量とたわみ角が読み取れる。
曲げモーメント図（M図）とは表す量が異なり、たわみ曲線は「変形形状」を、M図は「断面力の分布」を示す点が大きな違い。
曲げモーメント図（M図）
梁の各断面に生じる曲げモーメントの大きさを位置の関数として示した図で、設計において危険断面（最大モーメント位置）を特定するために使う。
たわみ曲線に対してM図はM（x）を表し、M図とたわみ曲線はd2y/dx2＝?M/EIという微分方程式で結ばれている関係にある。
たわみ曲線を整理した表を示します。
| 項目 | 内容 | 備考 |
|---|---|---|
| 定義 | 曲げ変形した梁の軸線を結んだ曲線 | 弾性曲線とも呼ぶ |
| 求め方 | たわみの微分方程式を2回積分 | 境界条件で積分定数を決定 |
| 曲率の方向 | M図の符号と対応 | 正モーメントで下に凸 |
まとめ
今回はたわみ曲線について説明しました。たわみ曲線は、梁の曲げモーメントによる曲線です。
たわみ曲線は微分方程式を解くことで得られます。微分方程式を解くのは難しそうですが、数学の基礎を勉強すれば単純な計算です。
単純梁のたわみ曲線の解き方は勉強しましょうね。下記が参考になります。
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試験での問われ方｜管理人の一言
建築士試験ではたわみ曲線の形状（凸向きか凹向きか）と境界条件を問う問題が出題されることがある。
「M図の符号とたわみ曲線の曲率方向が対応している」という関係を理解しておくと、式を覚えなくても形状を推定できる。