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たわみ曲線とは?1分でわかる意味、単純梁の式、書き方、微分方程式と境界条件の関係

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たわみ曲線とは、梁の曲げモーメントによる変形(たわみ)を表す曲線です。たわみを求める公式は、たわみ曲線を元に計算しています。たわみ曲線は微分方程式を解くことで求めます。またたわみ曲線を弾性曲線ともいいます。今回は、たわみ曲線の意味、単純梁の式、書き方、微分方程式と境界条件の関係について説明します。たわみ曲線と微分方程式の解き方など、下記が参考になります。

梁のたわみを求める方法

曲げモーメントと曲率の関係,理論式の展開

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たわみ曲線とは?

たわみ曲線とは、梁の曲げモーメントによる変形(たわみ)を表す曲線です。たわみ曲線の式は微分方程式を解くことで得られます。下式がたわみ曲線を求める微分方程式です。


たわみ曲線を求める微分方程式


Mは曲げモーメントの式を意味します。曲げモーメントの式は、荷重・支持条件で変わります。単純梁と片持ち梁では曲げモーメントの式が違うので、当然、たわみ曲線の式も違います。


たわみ曲線を求める微分方程式は2階微分の式です。よって、たわみを求めるためには積分を2回行います。たわみ曲線の微分方程式の解き方は下記をご覧ください。

梁のたわみを求める方法


下図をみてください。梁のたわみ曲線を描きました。たわみ曲線の一部を取り出すと、単なる直線の傾きです。よって微小直線の傾きを積分すれば曲線を求めることが可能です。


図 たわみ曲線の意味

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単純梁のたわみ曲線の式

単純梁のたわみ曲線の式を下記に示します。なお荷重条件は、集中荷重と等分布荷重の場合です。

中央集中荷重のたわみ曲線の式

中央集中荷重のたわみ曲線


上式の導出の流れは、下記をご覧ください。

梁のたわみを求める方法

等分布荷重のたわみ曲線の式

等分布荷重のたわみ曲線


上式の導出の流れは下記をご覧ください。

梁のたわみを求める-単純梁,等分布荷重-


上式のxに距離を代入すれば、たわみの公式が求められます。例えばスパン中央(=L/2)を代入すれば最大たわみの値ですね。たわみの公式は下記をご覧ください。

たわみの公式は?1分でわかる種類、覚え方、単位、導出

たわみ曲線の書き方

たわみ曲線を描くときは、xに数値などを代入して計算します。曲線の大まかな形を知りたいなら、


両端の位置

スパンの中央

荷重の作用位置


のたわみを求めるとよいでしょう。

たわみ曲線と微分方程式、境界条件の関係

たわみ曲線は微分方程式を解くことで得られます。もう一度、下式をみてください。


たわみ曲線を求める微分方程式


Mは曲げモーメントの式です。下図をみてください。単純梁と片持ち梁を示しました。境界条件(支持条件)が違えばMの式も違います。


図 単純梁と片持ち梁

まとめ

今回はたわみ曲線について説明しました。意味や式の内容が理解頂けたと思います。たわみ曲線は、梁の曲げモーメントによる曲線です。たわみ曲線は微分方程式を解くことで得られます。微分方程式を解くのは難しそうですが、数学の基礎を勉強すれば単純な計算です。単純梁のたわみ曲線の解き方は勉強しましょうね。下記が参考になります。

梁のたわみを求める方法

たわみの公式は?1分でわかる種類、覚え方、単位、導出

梁のたわみを求める-単純梁,等分布荷重-

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