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二質点系の固有値解析の方法
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前回に引き続き、固有値解析について考えていきます。まず、多質点系の固有値問題は下式のように、
です。手計算レベルで解ける２質点系について考えましょう。
上図のように、２質点モデルがあります。ダランベールの式より、２層部分のつり合い式は、
です。慣性力は、質点重量と加速度の積です。加速度は変位の２階微分ですから、ｙ２を二階微分した値です。次に、復元力は２層部分の柱の剛性と、変位の積です。注意したいのは、「復元力は各層の相対変位と各柱の剛性をかけたもの」であること。考えてみれば、当然です。
２層部分の復元力に、１層の変位は関係ありません。ですから、相対変位である（ｙ2－ｙ1）を用いるのです。
次に１層部分のつり合い式は、
です。１質点系の式と異なる点は、２層に作用する慣性力が１層へ働くことです。力は必ず釣り合いますから、２層で作用した向きとは逆向きの慣性力が、１層へ働きます。
さて、両者の微分方程式を整理しましょう。
上式を行列式で示すと、
です。
これで、ようやく２質点系の質点重量マトリクスと、剛性マトリクスがわかりました。これを一般固有値問題の式に代入しましょう。一般固有値問題は下式のように、
です（当HPで誘導しています。「固有値解析とは？モーダルアナリシスについて」を参照ください）。各行列での値が、上式を満たすように代入していきます。
よって、
です。
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２質点系の固有周期の求め方
あとは、上式を解くことでωが求められます。今回は、簡単のためｍ１＝ｍ２、ｋ１＝ｋ２としましょう。よって、
です。本当は実際の構造物の荷重を拾い、ラーメン構造なら柱と梁の関係から剛性を算出しますが、それは別の機会に。とりあえず、ｍとｋは与えられているもの、と考えます。
ｍ＝10ｋN、ｋ＝50 N／ｃｍ
代入する前に単位を合わせます。要は、固有周期（ｓ）を求めたいので、単位変換をしないと期待外れの結果になります（N／ｍ／ｋｇ＝1/ｓ＾2ですよね）。
上の行列式を解けばよいのです（桁が大きいので行列式の段階で桁を落とすと計算が楽です）。
以上より、４次方程式を頑張ってとくと（省略します。エクセルや電卓、ネットで公式がありますよ。）
です。また１次固有周期は最も長く、２次、３次と複雑な振動をすると、その固有周期はどんどん短くなっていきます。
一方固有モードを求めます。そもそも固有モードとは何でしょうか。これは、何か絶対的な数値を示したものではありません。無次元量で、各モード時の各層の影響度合いを示しています。要するに各層の、ある値の比率を示しています。
前回、固有値をaと仮定しました。ωを分かったので、１層と２層の固有値の比率が分かります（ちなみにaの具体的な値は特に興味がありません。問題は、どのモードでどの層が大きいのか、ということです）。行列式にωを代入します。
行列式を解くと、
よって、１層の２層の固有値の比率が各モードで求まります。
となるのです。以上、固有モードが求まりました。この結果より、１次モードでは、２層は１層の6割も地震力が大きいこと、２次モードは全く問題にならないほど小さいことが分かりましたね。
今回は二質点系の問題を解きましたが、多質点系でも基本は同じです。ただし、膨大な行列式を解く必要があるので、計算機や固有値を求める数学的手法が必要になるのです。
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- 名前 ハナダユキヒロ/MITUME lab主宰.（筆者のコラムはこちら）
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
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