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二質点系の固有値解析の方法

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前回に引き続き、固有値解析について考えていきます。まず、多質点系の固有値問題は下式のように、

です。手計算レベルで解ける２質点系について考えましょう。

上図のように、２質点モデルがあります。ダランベールの式より、２層部分のつり合い式は、

です。慣性力は、質点重量と加速度の積です。加速度は変位の２階微分ですから、ｙ２を二階微分した値です。

次に、復元力は２層部分の柱の剛性と、変位の積です。注意したいのは、「復元力は各層の相対変位と各柱の剛性をかけたもの」であること。考えてみれば、当然です。

２層部分の復元力に、１層の変位は関係ありません。ですから、相対変位である（ｙ2－ｙ1）を用いるのです。

次に１層部分のつり合い式は、

です。１質点系の式と異なる点は、２層に作用する慣性力が１層へ働くことです。力は必ず釣り合いますから、２層で作用した向きとは逆向きの慣性力が、１層へ働きます。

さて、両者の微分方程式を整理しましょう。

上式を行列式で示すと、

です。

これで、ようやく２質点系の質点重量マトリクスと、剛性マトリクスがわかりました。これを一般固有値問題の式に代入しましょう。一般固有値問題は下式のように、

です（当HPで誘導しています。「固有値解析とは？モーダルアナリシスについて」を参照ください）。各行列での値が、上式を満たすように代入していきます。

よって、

です。

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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２質点系の固有周期の求め方

あとは、上式を解くことでωが求められます。今回は、簡単のためｍ１＝ｍ２、ｋ１＝ｋ２としましょう。よって、

です。本当は実際の構造物の荷重を拾い、ラーメン構造なら柱と梁の関係から剛性を算出しますが、それは別の機会に。とりあえず、ｍとｋは与えられているもの、と考えます。

ｍ＝10ｋN、ｋ＝50 N／ｃｍ

代入する前に単位を合わせます。要は、固有周期（ｓ）を求めたいので、単位変換をしないと期待外れの結果になります（N／ｍ／ｋｇ＝1/ｓ＾2ですよね）。

上の行列式を解けばよいのです（桁が大きいので行列式の段階で桁を落とすと計算が楽です）。

以上より、４次方程式を頑張ってとくと（省略します。エクセルや電卓、ネットで公式がありますよ。）

です。また１次固有周期は最も長く、２次、３次と複雑な振動をすると、その固有周期はどんどん短くなっていきます。

一方固有モードを求めます。そもそも固有モードとは何でしょうか。これは、何か絶対的な数値を示したものではありません。

無次元量で、各モード時の各層の影響度合いを示しています。要するに各層の、ある値の比率を示しています。

前回、固有値をaと仮定しました。ωを分かったので、１層と２層の固有値の比率が分かります

（ちなみにaの具体的な値は特に興味がありません。問題は、どのモードでどの層が大きいのか、ということです）。行列式にωを代入します。

行列式を解くと、

よって、１層の２層の固有値の比率が各モードで求まります。

となるのです。以上、固有モードが求まりました。

この結果より、１次モードでは、２層は１層の6割も地震力が大きいこと、２次モードは全く問題にならないほど小さいことが分かりましたね。

今回は二質点系の問題を解きましたが、多質点系でも基本は同じです。

ただし、膨大な行列式を解く必要があるので、計算機や固有値を求める数学的手法が必要になるのです。

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• 名前　ハナダユキヒロ/MITUME lab代表.
• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


• 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。


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