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二質点系の固有値解析の方法

前回に引き続き、固有値解析について考えていきます。まず、多質点系の固有値問題は下式のように、

です。手計算レベルで解ける2質点系について考えましょう。

上図のように、2質点モデルがあります。ダランベールの式より、2層部分のつり合い式は、

です。慣性力は、質点重量と加速度の積です。加速度は変位の2階微分ですから、y2を二階微分した値です。次に、復元力は2層部分の柱の剛性と、変位の積です。注意したいのは、「復元力は各層の相対変位と各柱の剛性をかけたもの」であること。考えてみれば、当然です。


2層部分の復元力に、1層の変位は関係ありません。ですから、相対変位である(y2−y1)を用いるのです。


次に1層部分のつり合い式は、

です。1質点系の式と異なる点は、2層に作用する慣性力が1層へ働くことです。力は必ず釣り合いますから、2層で作用した向きとは逆向きの慣性力が、1層へ働きます。


さて、両者の微分方程式を整理しましょう。

上式を行列式で示すと、

です。


これで、ようやく2質点系の質点重量マトリクスと、剛性マトリクスがわかりました。これを一般固有値問題の式に代入しましょう。一般固有値問題は下式のように、

です(当HPで誘導しています。「固有値解析とは?モーダルアナリシスについて」を参照ください)。各行列での値が、上式を満たすように代入していきます。


よって、

です。


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2質点系の固有周期の求め方

あとは、上式を解くことでωが求められます。今回は、簡単のためm1=m2、k1=k2としましょう。よって、

です。本当は実際の構造物の荷重を拾い、ラーメン構造なら柱と梁の関係から剛性を算出しますが、それは別の機会に。とりあえず、mとkは与えられているもの、と考えます。

m=10kN、k=50 N/cm


代入する前に単位を合わせます。要は、固有周期(s)を求めたいので、単位変換をしないと期待外れの結果になります(N/m/kg=1/s^2ですよね)。

上の行列式を解けばよいのです(桁が大きいので行列式の段階で桁を落とすと計算が楽です)。

以上より、4次方程式を頑張ってとくと(省略します。エクセルや電卓、ネットで公式がありますよ。)

です。また1次固有周期は最も長く、2次、3次と複雑な振動をすると、その固有周期はどんどん短くなっていきます。


一方固有モードを求めます。そもそも固有モードとは何でしょうか。これは、何か絶対的な数値を示したものではありません。無次元量で、各モード時の各層の影響度合いを示しています。要するに各層の、ある値の比率を示しています。

前回、固有値をaと仮定しました。ωを分かったので、1層と2層の固有値の比率が分かります(ちなみにaの具体的な値は特に興味がありません。問題は、どのモードでどの層が大きいのか、ということです)。行列式にωを代入します。

行列式を解くと、

よって、1層の2層の固有値の比率が各モードで求まります。

となるのです。以上、固有モードが求まりました。この結果より、1次モードでは、2層は1層の6割も地震力が大きいこと、2次モードは全く問題にならないほど小さいことが分かりましたね。


今回は二質点系の問題を解きましたが、多質点系でも基本は同じです。ただし、膨大な行列式を解く必要があるので、計算機や固有値を求める数学的手法が必要になるのです。

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