二質点系の固有値解析の方法

この記事の要点

二質点系の固有値解析では、各層のつり合い式を行列形式に整理し、一般固有値問題（[K]-ω²[M]）{a}={0}を解いて2つの固有円振動数と固有モードを求める。

1次モードは最頂部の変形が支配的で地震力が大きく、2次モードはそれよりずっと小さくなることが多いため、高次モードの影響を評価する上で比率の把握が重要になる。

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前回に引き続き、固有値解析について考えていきます。まず、多質点系の固有値問題は下式のように、

です。手計算レベルで解ける２質点系について考えましょう。

上図のように、２質点モデルがあります。ダランベールの式より、２層部分のつり合い式は、

です。慣性力は、質点重量と加速度の積です。加速度は変位の２階微分ですから、ｙ２を二階微分した値です。

次に、復元力は２層部分の柱の剛性と、変位の積です。注意したいのは、「復元力は各層の相対変位と各柱の剛性をかけたもの」であること。考えてみれば、当然です。

２層部分の復元力に、１層の変位は関係ありません。ですから、相対変位である（ｙ2－ｙ1）を用いるのです。

次に１層部分のつり合い式は、

です。１質点系の式と異なる点は、２層に作用する慣性力が１層へ働くことです。力は必ず釣り合いますから、２層で作用した向きとは逆向きの慣性力が、１層へ働きます。

さて、両者の微分方程式を整理しましょう。

上式を行列式で示すと、

です。

これで、ようやく２質点系の質点重量マトリクスと、剛性マトリクスがわかりました。これを一般固有値問題の式に代入しましょう。一般固有値問題は下式のように、

です（当HPで誘導しています。「固有値解析とは？モーダルアナリシスについて」を参照ください）。各行列での値が、上式を満たすように代入していきます。

よって、

です。

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２質点系の固有周期の求め方

あとは、上式を解くことでωが求められます。今回は、簡単のためｍ１＝ｍ２、ｋ１＝ｋ２としましょう。よって、

です。本当は実際の構造物の荷重を拾い、ラーメン構造なら柱と梁の関係から剛性を算出しますが、それは別の機会に。とりあえず、ｍとｋは与えられているもの、と考えます。

ｍ＝10ｋN、ｋ＝50 N／ｃｍ

代入する前に単位を合わせます。要は、固有周期（ｓ）を求めたいので、単位変換をしないと期待外れの結果になります（N／ｍ／ｋｇ＝1/ｓ＾2ですよね）。

上の行列式を解けばよいのです（桁が大きいので行列式の段階で桁を落とすと計算が楽です）。

以上より、４次方程式を頑張ってとくと（省略します。エクセルや電卓、ネットで公式がありますよ。）

です。また１次固有周期は最も長く、２次、３次と複雑な振動をすると、その固有周期はどんどん短くなっていきます。

一方固有モードを求めます。そもそも固有モードとは何でしょうか。これは、何か絶対的な数値を示したものではありません。

無次元量で、各モード時の各層の影響度合いを示しています。要するに各層の、ある値の比率を示しています。

前回、固有値をaと仮定しました。ωを分かったので、１層と２層の固有値の比率が分かります

（ちなみにaの具体的な値は特に興味がありません。問題は、どのモードでどの層が大きいのか、ということです）。行列式にωを代入します。

行列式を解くと、

よって、１層の２層の固有値の比率が各モードで求まります。

となるのです。以上、固有モードが求まりました。

この結果より、１次モードでは、２層は１層の6割も地震力が大きいこと、２次モードは全く問題にならないほど小さいことが分かりましたね。

今回は二質点系の問題を解きましたが、多質点系でも基本は同じです。

ただし、膨大な行列式を解く必要があるので、計算機や固有値を求める数学的手法が必要になるのです。

混同しやすい用語

固有値（ω²）と固有ベクトル（固有モード）

固有値は固有円振動数の2乗（ω²）であり、行列式の行列方程式を解いて得られる数値。固有周期Tはω²から計算される。

固有ベクトルは各固有値に対応する各層の変形比率（固有モード）を示し、絶対値ではなく比率のみに意味がある。

一質点系と二質点系（多質点系）

一質点系は固有周期が1つしかないのに対して、二質点系では1次・2次の2つの固有周期と固有モードが存在する。

多質点系では質点の数だけ固有周期が生じ、低次モードほど周期が長く地震力への影響が大きい傾向がある。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では二質点系のモデルで1次・2次固有周期の大小関係や各モードの変形形状が問われることがある。

行列の連立方程式を解く手順を追うより、「1次モードは長周期で頂部変形が大きい」「2次モードは短周期で変形が逆向き」というイメージをつかむと理解が定着しやすい。

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