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剛性マトリクスの求め方

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有限要素法もマトリクス法（変位法）と同様に剛性マトリクスを求めることが重要です。

なぜなら、剛性マトリクスを求めることができれば、そこから変位を求め、歪と変位の関係から歪、さらに応力と歪の関係から応力を求めることが出来るからです。

まず、ここでは簡単のために図のような四角形の構造物を｢定ひずみ三角形要素｣でメッシュを２つ作成し、剛性マトリクスを求めてみましょう。

初めに、要素Aの剛性マトリクスを導出します。

等方性の線形弾性材料の構成則は、応力{σ}と歪{ε}とをマトリクス[D]を介して次式で表記できます。

線形弾性材料の構成則

{σ} = [D]{ε}

平面応力問題でのマトリクス[D]は、次の式で示すことが出来ます。

平面応力問題でのマトリクス[D]

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次に、仮想仕事の原理によって剛性マトリクスを定式化してみましょう。

まず、内部仮想仕事は次のような式で表すことが出来ます。もし、この式をみてピンとこなかったら、定義として眺めていてください。

剛性マトリクスの定式化

さて、同様に外部仮想仕事は

となります。仮想仕事の原理とは、｢内部仮想仕事＝外部仮想仕事｣なので、

仮想仕事の原理

以上のことから、剛性マトリクスは次の式から求めることができますね。

剛性マトリクス

剛性マトリクス２

また、Δは三角形の面積で表すことができるので、Δ=l²/2です。よって数式の整理を行うと次のように示すことができます。

剛性マトリクス３

以上のように、要素Aの剛性マトリクスを求めることができました。

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名前　ハナダユキヒロ/MITUME lab主宰.（筆者のコラムはこちら）
2010年　弊サイトを開設
2010～2017年　国立大学大学院修了
2017年12月に当HPが書籍化。
「わかる構造力学」
2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。

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