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剛性マトリクスの求め方

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有限要素法もマトリクス法(変位法)と同様に剛性マトリクスを求めることが重要です。


なぜなら、剛性マトリクスを求めることができれば、そこから変位を求め、歪と変位の関係から歪、さらに応力と歪の関係から応力を求めることが出来るからです。


まず、ここでは簡単のために図のような四角形の構造物を「定ひずみ三角形要素」でメッシュを2つ作成し、剛性マトリクスを求めてみましょう。


初めに、要素Aの剛性マトリクスを導出します。


等方性の線形弾性材料の構成則は、応力{σ}と歪{ε}とをマトリクス[D]を介して次式で表記できます。


線形弾性材料の構成則


{σ} = [D]{ε}


平面応力問題でのマトリクス[D]は、次の式で示すことが出来ます。

平面応力問題でのマトリクス[D]

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次に、仮想仕事の原理によって剛性マトリクスを定式化してみましょう。


まず、内部仮想仕事は次のような式で表すことが出来ます。もし、この式をみてピンとこなかったら、定義として眺めていてください。


剛性マトリクスの定式化


さて、同様に外部仮想仕事は


外部仮想仕事


となります。仮想仕事の原理とは、「内部仮想仕事=外部仮想仕事」なので、


仮想仕事の原理


以上のことから、剛性マトリクスは次の式から求めることができますね。


剛性マトリクス


剛性マトリクス2


また、Δは三角形の面積で表すことができるので、Δ=l2/2です。よって数式の整理を行うと次のように示すことができます。


剛性マトリクス3


以上のように、要素Aの剛性マトリクスを求めることができました。

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