剛性マトリクスの求め方

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有限要素法もマトリクス法（変位法）と同様に剛性マトリクスを求めることが重要です。

なぜなら、剛性マトリクスを求めることができれば、そこから変位を求め、歪と変位の関係から歪、さらに応力と歪の関係から応力を求めることが出来るからです。

まず、ここでは簡単のために図のような四角形の構造物を｢定ひずみ三角形要素｣でメッシュを２つ作成し、剛性マトリクスを求めてみましょう。

初めに、要素Aの剛性マトリクスを導出します。

等方性の線形弾性材料の構成則は、応力{σ}と歪{ε}とをマトリクス[D]を介して次式で表記できます。

線形弾性材料の構成則

{σ} = [D]{ε}

平面応力問題でのマトリクス[D]は、次の式で示すことが出来ます。

平面応力問題でのマトリクス[D]

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学改訂版/工学社」

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次に、仮想仕事の原理によって剛性マトリクスを定式化してみましょう。

まず、内部仮想仕事は次のような式で表すことが出来ます。もし、この式をみてピンとこなかったら、定義として眺めていてください。

剛性マトリクスの定式化

さて、同様に外部仮想仕事は

となります。仮想仕事の原理とは、｢内部仮想仕事＝外部仮想仕事｣なので、

仮想仕事の原理

以上のことから、剛性マトリクスは次の式から求めることができますね。

剛性マトリクス

剛性マトリクス２

また、Δは三角形の面積で表すことができるので、Δ=l²/2です。よって数式の整理を行うと次のように示すことができます。

剛性マトリクス３

以上のように、要素Aの剛性マトリクスを求めることができました。

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