剛性マトリクスの求め方｜有限要素法での組み立てと変位・応力の算定フロー

この記事の要点

剛性マトリクス（stiffness matrix）は、外力と変位の関係を行列で表したものです。

[K]{u}={F}（剛性×変位=外力）の形で使われ、FEM解析の核心です。

要素剛性マトリクスの組み立て→全体剛性マトリクスへの重ね合わせ→境界条件適用→変位算定→歪・応力算定の流れを解説します。

定ひずみ三角形要素では[B]が定数マトリクスとなるため、積分が容易に実行でき、[K]=[B]T[D][B]×Δ（Δ=要素面積）として求められる。

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剛性マトリクスは有限要素法においてマトリクス法（変位法）と同様に求めることが重要です。

なぜなら、剛性マトリクスを求めることができれば、そこから変位を求め、歪と変位の関係から歪、さらに応力と歪の関係から応力を求めることが出来るからです。

まず、ここでは簡単のために図のような四角形の構造物を｢定ひずみ三角形要素｣でメッシュを２つ作成し、剛性マトリクスを求めてみましょう。

初めに、要素Aの剛性マトリクスを導出します。

等方性の線形弾性材料の構成則は、応力{σ}と歪{ε}とをマトリクス[D]を介して次式で表記できます。

線形弾性材料の構成則

{σ} = [D]{ε}

平面応力問題でのマトリクス[D]は、次の式で示すことが出来ます。

平面応力問題でのマトリクス[D]

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次に、仮想仕事の原理によって剛性マトリクスを定式化してみましょう。

まず、内部仮想仕事は次のような式で表すことが出来ます。もし、この式をみてピンとこなかったら、定義として眺めていてください。

剛性マトリクスの定式化

さて、同様に外部仮想仕事は

となります。仮想仕事の原理とは、｢内部仮想仕事＝外部仮想仕事｣なので、

仮想仕事の原理

以上のことから、剛性マトリクスは次の式から求めることができますね。

剛性マトリクス

剛性マトリクス２

また、Δは三角形の面積で表すことができるので、Δ=l²/2です。よって数式の整理を行うと次のように示すことができます。

剛性マトリクス３

以上のように、要素Aの剛性マトリクスを求めることができました。

混同しやすい用語

要素剛性マトリクスと全体剛性マトリクス

要素剛性マトリクス[K]eは各要素ごとに仮想仕事の原理から導く行列で、その要素の変位と力の関係を表す局所的な行列である。

全体剛性マトリクス[K]は全要素の剛性マトリクスを重ね合わせ（アセンブル）て構築する大域的な行列であり、支持条件・外力を適用して解くことで全節点の変位が求まる。

内部仮想仕事と外部仮想仕事（仮想仕事の原理）

内部仮想仕事は仮想変位に対して要素内の応力が行う仕事で∫{δε}T{σ}dVで表され、これをBマトリクスと変位で書き換えると剛性マトリクスが現れる。

外部仮想仕事は節点力が仮想変位に行う仕事{δd}T{f}であり、仮想仕事の原理「内部仮想仕事=外部仮想仕事」から剛性方程式[K]{d}={f}が導かれる。

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理解度チェック

剛性マトリクスとは何ですか？

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外力と変位の関係を行列で表したものです。[K]{u}={F}（剛性マトリクス×変位＝外力）の形で使われ、FEM解析の核心となります。剛性マトリクスが求まれば、変位→ひずみ→応力と順に求められます。

剛性マトリクスはどのように定式化しますか？

答えを見る

仮想仕事の原理（内部仮想仕事＝外部仮想仕事）を用いて定式化します。定ひずみ三角形要素では[B]が定数マトリクスとなり積分が容易で、[K]=[B]^T[D][B]×Δ（Δ＝要素面積）として求められます。

要素剛性マトリクスと全体剛性マトリクスの違いは？

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要素剛性マトリクス[K]eは各要素ごとに仮想仕事の原理から導く局所的な行列です。全体剛性マトリクス[K]は全要素の剛性マトリクスを重ね合わせ（アセンブル）て構築する大域的な行列で、支持条件・外力を適用して解くと全節点の変位が求まります。

この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学わかる構造力学（改訂版）

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