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定ひずみ三角形要素とは

ここでは有限要素解析を勉強する第一歩として、「定ひずみ三角形要素」の変位関数について勉強しましょう。 定ひずみ三角形要素は有限要素法を学ぶ上で最も簡単な要素です。初めに変位u,vの2成分を3つの頂点(i,j,k)に 関するパラメータα1,α2…を含む一次関数で表示できます。(最も簡単な変位場) また、変位関数を以下のように定義します。この式は定義ですので深く考えないようにしましょうね。 要は変位をこのような一次関数で表すことが重要です。図のように節点は3つ存在するので、下の式がそれぞれ3つずつ存在する ことがわかります。
変位関数の定義
ここで、係数α1,α2…は未知係数です。この要素は、要素内の変位が線形(一次関数になってますね)よって、 線形三角形要素とも呼ばれます。
線形三角形要素
さて、ひずみと変位の関係は以下のように表すことができました。

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ひずみと変位の関係
この式にさっきの、変位関数u,vをそれぞれ代入します。x,yについてそれぞれ偏微分すると、最終的に ひずみの値は以下のように表します。
ひずみの値
このように、変位を一次関数で定義したときの歪は定数となることから「定ひずみ三角形要素」と呼ばれます。 歪の値が一定なので、当然、応力の値も一定となります。つまり要素内で応力は変化しません。
よく、三角形要素は「固くなる」と言われますが、これは三角形要素内で歪が一定であり、対象とするモデルの メッシュを粗くすると計算精度が悪く、応力が高めに現れるためです。よって定ひずみ三角形要素を 用いる場合はメッシュを細かくする必要があるわけです。

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