定ひずみ三角形要素とは

有限要素解析を勉強する第一歩として、｢定ひずみ三角形要素｣の変位関数について勉強しましょう。

初めに、変位u,vの2成分を3つの頂点(i,j,k)に関するパラメータα1,α2…を含む一次関数で表示できます（最も簡単な変位場）。また、変位関数を以下のように定義します。この式は定義ですので深く考えないようにしましょうね。

要は変位をこのような一次関数で表すことが重要です。

図のように節点は3つ存在するので、下の式がそれぞれ3つずつ存在することがわかります。

変位関数の定義

ここで、係数α1,α2…は未知係数です。この要素は、要素内の変位が線形（一次関数になってますね）よって、線形三角形要素とも呼ばれます。

線形三角形要素

さて、ひずみと変位の関係は以下のように表すことができました。

ひずみと変位の関係

この式にさっきの、変位関数u,vをそれぞれ代入します。x,yについてそれぞれ偏微分すると、最終的にひずみの値は以下のように表します。

ひずみの値

このように、変位を一次関数で定義したときの歪は定数となることから｢定ひずみ三角形要素｣と呼ばれます。

歪の値が一定なので、当然、応力の値も一定となります。つまり要素内で応力は変化しません。

よく、三角形要素は｢固くなる｣と言われますが、これは三角形要素内で歪が一定であり、対象とするモデルのメッシュを粗くすると計算精度が悪く、応力が高めに現れるためです。

よって定ひずみ三角形要素を用いる場合はメッシュを細かくする必要があるわけです。