Bマトリクスを導出する方法とは

この記事の要点

Bマトリクス（ひずみ-変位マトリクス）は有限要素法において節点変位{d}からひずみ{ε}を求める行列で、{ε}=[B]{d}と表され、定ひずみ三角形要素ではBの各要素は節点座標から定まる定数行列となる。

導出手順は、①変位場u,vをα1?α6の一次関数で表す→②節点座標を代入してAマトリクスを構成→③ひずみ-変位関係に代入→④[B]=[∂N][A]?1として得られ、節点座標を代入すれば具体的なBマトリクスが求まる。

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定ひずみ三角形要素の剛性マトリクスを求める準備段階として、歪と変位を関係づけるBマトリクスを求めましょう。

変位u,vの2成分を3つの頂点(i,j,k)に関するパラメータα1,α2…を含む一次関数で表示できます（最も簡単な変位場）。変位関数の定義は、

定ひずみ三角形要素

u=α₁+α₂x+α₃y

v=α₄+α₅x+α₆y

次に節点座標を代入すると、

Aマトリクス

上の式を節点変位ベクトル≡{d}=[A]{α}と略記し、[A]をAマトリクスと呼びます。

また、{α}=(α1, α2, α3, α4, α5, α6,)^Tは一般化変位と呼ばれます。

{α}について解くと、

{α}=[A]^-1{d}

Aの逆マトリクス

また、

Aの逆マトリクス２

a₁=x₂ y₃－x₃ y₂ b₁=y₂－y₃ c₁=y₃－y₂

a₂=x₃ y₁－x₁ y₃ b₂=x₃－y₁ c₂=x₁－y₃

a₃=x₁ y₂－x₂ y₁ b₃=x₁－y₂ c₃=x₂－y₁

さらに、歪と変位の関係式は

歪と変位の関係式

ここで、変位関数の定義は次のように書き換えることが出来ます。

変位関数の定義

この式を歪と変位の関係に代入すると

ε_x=[0 1 0 0 0 0] [A]^-1{d}

ε_y=[0 0 0 0 0 1] [A]^-1{d}

2ε_xy=[0 0 1 0 0 0] [A]^-1{d}+[0 0 0 0 1 0] [A]^-1{d}

これを纏めると、

変位関数の定義を纏める

ここで、[B]をBマトリクスと呼びます。

Bマトリクス

また、マトリクス要素の節点座標で表すと、次のような式で示すことができます。

マトリクス要素の節点座標で表す

あとは、具体的な節点座標を代入すれば、実際の[B]を求めることができますね。

混同しやすい用語

AマトリクスとBマトリクス

Aマトリクスは節点変位ベクトル{d}と一般化変位{α}を結ぶ行列（{d}=[A]{α}）であり、節点座標を変位関数に代入することで得られる正方行列である。

Bマトリクスはひずみ{ε}と節点変位{d}を結ぶ行列（{ε}=[B]{d}）で、[B]はひずみ-変位関係式と[A]の逆行列の積として求められ、定ひずみ三角形要素では要素内で定数となる。

一般化変位{α}と節点変位{d}

一般化変位{α}=(α1,α2,…,α6)Tは変位関数の係数であり、物理的な変位そのものではなく計算上の補助変数である。

節点変位{d}は各節点の実際の変位値（u1,v1,u2,v2,u3,v3）Tであり、有限要素解析の未知変数として求める対象となる。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験の出題では有限要素法の詳細な数式よりも「BマトリクスはひずみとFEM節点変位を結ぶ行列」という役割と位置づけを問われることが多い。

定ひずみ三角形要素ではBが定数行列（要素内でひずみ一定）になる特性は、この要素の長所・短所を理解するうえでの鍵となるポイントである。

Bマトリクスの計算例

条件	値
要素の種類	定ひずみ三角形要素（CST）
節点座標	節点1:(0,0)、節点2:(a,0)、節点3:(0,b)
要素面積A	ab/2

形状関数 N1=1?x/a?y/b、N2=x/a、N3=y/b の場合、Bマトリクスは：

[B] = (1/(2A)) × [ ?b 0 b 0 0 0; 0 ?a 0 0 0 a; ?a ?b 0 b a 0 ]

各列は節点変位成分（ux1, uy1, ux2, uy2, ux3, uy3）に対応。{ε}=[B]{u} でひずみベクトルが求まる。

答え：Bマトリクスは形状関数の空間微分から構成される3×6（2次元CST）の定数行列

有限要素法の主要行列の比較表

行列	式	役割
Bマトリクス	{ε} = [B]{u}	変位→ひずみの変換
Dマトリクス	{σ} = [D]{ε}	ひずみ→応力の変換（材料構成式）
剛性マトリクス[K]	[K] = ∫[B]?[D][B]dV	力→変位の関係

よくある誤解

×「Bマトリクスは形状関数行列[N]そのもの」→○Bマトリクスは形状関数の空間微分（∂N/∂x等）から構成される。変位を直接補間する[N]とは異なる
×「CSTのBマトリクスは要素内でx・yの関数になる」→○CSTの形状関数は1次式のため微分は定数 → Bマトリクスは定数行列（ひずみが要素内で一定）
×「剛性マトリクス[K]はBマトリクスだけから決まる」→○[K] = ∫[B]?[D][B]dVであり、材料定数を含むDマトリクスとの積が必要

一問一答

Q. Bマトリクスの役割とは？

A. 節点変位{u}から要素内のひずみ{ε}を求める変換行列。{ε}=[B]{u} の関係で使われる有限要素法の基本行列。

Q. CSTのBマトリクスが定数行列になる理由は？

A. CSTの形状関数は1次多項式のため、空間微分（∂N/∂x等）は定数となる。そのため要素内でひずみが一定（定ひずみ）となる。

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