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Bマトリクスを導出する方法とは

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定ひずみ三角形要素の剛性マトリクスを求める準備段階として、歪と変位を関係づけるBマトリクスを求めましょう。


変位u,vの2成分を3つの頂点(i,j,k)に関するパラメータα1,α2…を含む一次関数で表示できます（最も簡単な変位場）。変位関数の定義は、


定ひずみ三角形要素

u=α1+α2x+α3y


v=α4+α5x+α6y


次に節点座標を代入すると、


Aマトリクス


上の式を節点変位ベクトル≡{d}=[A]{α}と略記し、[A]をAマトリクスと呼びます。


また、{α}=(α1, α2, α3, α4, α5, α6,)Tは一般化変位と呼ばれます。


{α}について解くと、


{α}=[A]-1{d}


Aの逆マトリクス


また、


Aの逆マトリクス２


a1=x2 y3－x3 y2   b1=y2－y3   c1=y3－y2

a2=x3 y1－x1 y3   b2=x3－y1   c2=x1－y3

a3=x1 y2－x2 y1   b3=x1－y2   c3=x2－y1


さらに、歪と変位の関係式は


歪と変位の関係式


ここで、変位関数の定義は次のように書き換えることが出来ます。


変位関数の定義


この式を歪と変位の関係に代入すると


εx=[0 1 0 0 0 0] [A]-1{d}

εy=[0 0 0 0 0 1] [A]-1{d}

2εxy=[0 0 1 0 0 0] [A]-1{d}+[0 0 0 0 1 0] [A]-1{d}


これを纏めると、


変位関数の定義を纏める


ここで、[B]をBマトリクスと呼びます。


Bマトリクス


また、マトリクス要素の節点座標で表すと、次のような式で示すことができます。


マトリクス要素の節点座標で表す


あとは、具体的な節点座標を代入すれば、実際の[B]を求めることができますね。

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