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Bマトリクスを導出する方法とは

・Bマトリクスを導出する
続けて定ひずみ三角形要素の剛性マトリクスを求める準備段階として、歪と変位を関係づけるBマトリクスを求めましょう。変位u,vの2成分を3つの頂点(i,j,k)に関するパラメータα1,α2…を含む一次関数で表示できる。(最も簡単な変位場)変位関数の定義は、
定ひずみ三角形要素
u=α12x+α3y
v=α45x+α6y

次に節点座標を代入すると、

Aマトリクス
上の式を節点変位ベクトル≡{d}=[A]{α}と略記し、[A]をAマトリクスと呼びます。 また、{α}=(α1, α2, α3, α4, α5, α6,)Tは一般化変位と呼ばれます。 {α}について解くと、

{α}=[A]-1{d}

Aの逆マトリクス
また、

Aの逆マトリクス2

a1=x2 y3x3 y  b1=y2y3   c1=y3y2
a2=x3 y1x1 y3   b2=x3y1   c2=x1y3
a3=x1 y2x2 y1   b3=x1y2   c3=x2y1

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さらに、歪と変位の関係式は

歪と変位の関係式

ここで、変位関数の定義は次のように書き換えることが出来ます。

変位関数の定義
この式を歪と変位の関係に代入すると
εx=[0 1 0 0 0 0] [A]-1{d}

εy=[0 0 0 0 0 1] [A]-1{d}

2εxy=[0 0 1 0 0 0] [A]-1{d}+[0 0 0 0 1 0] [A]-1{d}

これを纏めると、

変位関数の定義を纏める

ここで、[B]をBマトリクスと呼びます。
Bマトリクス

また、マトリクス要素の節点座標で表すと、次のような式で示すことができます。

マトリクス要素の節点座標で表す

あとは、具体的な節点座標を代入すれば、実際の[B]を求めることができますね。

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