座標変換マトリクス

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座標変換について理解しましょう。

下の図のように2つの右手系の直角座標系を考え、それぞれの基底ベクトルをe1, e2, e3とします。一方の座標系の軸をx1, x 2, x 3として定め、もう片方の座標系は角度をつけた座標系とし、この軸をx'1, x' 2, x' 3とします。

右手系の直角座標系

右手系の直角座標系２

このとき、基底ベクトルの関係は以下のように示すことが出来ますね。

e_i・e_j=δ_ij

e'_i・e'_j=δ_ij

｢・｣は内積を表しています。ベクトルの内積は数学で習ったように、成分の足し合わせで示すことができます。i,j= 1,2,3ですから、よって

e_i・e_j =e₁e₁+ e₁e₂+ e₁e₃+ e₂e₂+ e₂e₁+ e₂e₃+e₃e₃+e₃e₁+e₃e₂=3

です。一方、

δ_ij= δ₁δ₁+δ₁δ₂+δ₁δ₃+δ₂δ₂+δ₂δ₁+δ₂δ₃+δ₃δ₃+δ₃δ₁+δ₃δ₂=3

となり、上記に示した式の関係が成り立つわけです。

さて、座標系における任意の位置ベクトルuは、それぞれの成分xi, x'iと基底ベクトルによって表すことができます。

u= xjej=x'je'j

さらに基底ベクトルeiと内積をとります。

xj(ej・ei)=x'j(e'j・ei)

このとき、元の座標系に関する基底ベクトルと、回転したときの座標系に関する基底ベクトルの内積は以下のように

(e'j・ei)＝Qji

と定義します。よって、

xjδij= x'j Qji

さらに、

xjδij = x1δ11+ x1δ21+x1δ31+x2δ12+x2δ22+x2δ32+x3δ13+x3δ23+x3δ33

= x1δ11+x2δ22+x3δ33=x1+x2+x3=xi

xi = x'j Qji

となります。i,jは擬標ですので式が整理しやすいように、Qji＝Qijとします。そのためには、i=jとすれば良いですね。

xj = x'i Qij

同様の仮定で次式を求めます。

u= xjej= x'je'j

さらに基底ベクトルe'iと内積をとります。

xj (e'i・ej)= x'j(e'i・e'j)

このとき、元の座標系に関する基底ベクトルと、回転したときの座標系に関する基底ベクトルの内積は以下のように

(e'i・ej)＝Qij

と定義します。

よって、

xj Qij = x'jδij

さらに、

x'jδij = x1δ11+ x1δ21+ x1δ31+ x2δ12+ x2δ22+ x2δ32+ x3δ13+ x3δ23+ x3δ33

= x1δ11+ x2δ22+x3δ33= x1+ x2+x3= x'i

xj Qij = x'i

となります。

以下の式を、それぞれQjiの形にしましょう。そのためには、Qjiに乗じている成分で偏微分する必要があります。

xj = x'i Qij

xj Qij = x'i

方向余弦

であり、この式を方向余弦と呼びます。方向余弦は、一般のベクトルでも同様の仮定で変換することが出来ます。

さて、ここで次のようなx3軸周りに角度θだけ回転した直角座標系を考えてみましょう。次の図から、

x3軸周りに角度θだけ回転した直角座標系

x1/d =cosθ

d = x1/cosθ

y/d=sinθ

y/( x1/cosθ)=sinθ

y= (sinθ/cosθ) x1

b= x2－y= x2－(sinθ/cosθ) x1= (x2cosθ－x1sinθ)/cosθ

x'2/b =cosθ

x'2 = bcosθ=x2cosθ－x1sinθ

a/b= a /{(x2cosθ－x1sinθ)/cosθ}=sinθ

a = sinθ(x2cosθ－x1sinθ)/cosθ

これで、x'1 , x'2を求めることが出来ました。さて、方向余弦の式から以下のように計算できます。

方向余弦の式

以上の式から具体的に成分をそれぞれ計算します。

具体的な成分

具体的な成分２

これを分かりやすくマトリクス表示します。

座標変換マトリクス

以上のマトリクスをx3軸周りの｢座標変換マトリクス｣と言います。

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