クロネッカーのデルタとは｜弾性力学テンソル表記の演習問題で理解する

この記事の要点

弾性力学の教科書を開いた瞬間に出てくる「δij」という記号で、最初は戸惑う人が多い。

構造力学の応力とは本質的に同じ概念だが、テンソルで扱うため表記がガラッと変わる。

この記事ではクロネッカーのデルタの定義・性質・演習問題への応用を解説する。

弾性力学の応力テンソル計算に必要な基礎として整理する。

演習問題を通じてδijδij=3、δijAij=Aii（トレース）などの縮約公式を習得しておくと、弾性力学やFEMの式展開でスムーズに計算を進めることができる。

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前のページの続きで演習問題を解いてみましょう。

ここから、添字が多くなってややこしくなりますが、計算のやり方は変わっていません。次の問題も交代記号の添え字が擬標ですので、入れ替えて計算をします。

クロネッカーのδ-演習問題-

被っている添字について、具体的に数字を与えて計算してみましょう。

クロネッカーのδ-演習問題-２

被っている添え字について、考えてみましょう。

クロネッカーのδ-演習問題-３

具体的に数字を代入して計算してみましょう。

クロネッカーのδ-演習問題-４

以下の問題は少し、ややこしいですが、添え字が擬標ですので、自由において計算を行います。

クロネッカーのδ-演習問題-５

クロネッカーのδ-演習問題-６

よって、j=k,s=tの場合は0となることがわかります。よって、

ですね。

以上のように、クロネッカーのδを学びそれに関連する演習問題を解きました。これができれば弾性力学を学習する上での基礎はできましたね。

混同しやすい用語

クロネッカーのδ vs レビ-チビタ記号（εijk）

クロネッカーのδijはi=jで1、i≠jで0となる単位テンソルで、縮約（添字の置き換え）や等方テンソルの表現に使われる。

レビ-チビタ記号εijkに対してδijは成分の入れ替えで符号変化はなく、外積やベクトルの回転表現に用いる点が異なる。

縮約（縮合）vs テンソル積

縮約とは同じ添字を持つ成分を総和することで次数が下がる操作（例：δijAij=Aii）であり、スカラー量を得るときに使う。

テンソル積に対して縮約は添字が対になっており、総和規約により自動的に加算されるのが特徴である。

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理解度チェック

クロネッカーのデルタδijとは何ですか？

答えを見る

i＝jのとき1、i≠jのとき0となる単位テンソルです。縮約（添字の置き換え）や等方テンソルの表現に使われ、弾性力学のテンソル計算の基礎となる記号です。

クロネッカーのデルタの代表的な縮約公式は？

答えを見る

δijδij＝3、δijAij＝Aii（トレース）などがあります。これらの縮約公式を習得しておくと、弾性力学やFEMの式展開をスムーズに進められます。

クロネッカーのデルタδijとレビ-チビタ記号εijkの違いは？

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δijは成分の入れ替えで符号が変化せず、縮約や等方テンソルの表現に使います。レビ-チビタ記号εijkは成分の入れ替えで符号が変わり、外積やベクトルの回転表現に用いる点が異なります。

この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

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