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商法則

未知の量にテンソルを乗じた結果がテンソルであることがわかっているとき、その量はテンソルであることがわかります。これを商法則といい、この方法によって容易にこれを知ることができます。例として、ijkを有する33個の関数A(i,j,k )を考えましょう。いま、viがベクトル(1階のテンソル)であって、 A(i,j,k)との積(iについて総和をとる)がTjkのような2階のテンソルであることがわかっているとします。 Tjkがテンソルなら、

となる。一方、v'iはベクトルであるから

であるから

これが任意のviについて成り立つためには

となります。

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縮約
n階のテンソルの任意の指標の2つを等しくおいて和をとることを縮約といい、(n -2)階のテンソルが得られることがわかります。よって、2階のテンソルは縮約によって0階のテンソル(スカラー)が得られます。 いまn階のテンソルは

なる変換法則に従うが、ここで指標qpに等しくおいて和をとると

ここで、明らかであるように

であるから、式は

となります。

・[例題]
n階のテンソルのm階偏導関数は(n+m)階のテンソルとなることを示せ。ただし、n>=m>=1とする。

となる。よって、1階だけ高階のテンソルが得られた。この操作をm回繰り返すことによって、 m階偏導関数がm階だけ高階のテンソルとなることがわかる。
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