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テンソルとは

弾性力学は材料力学で勉強した内容を3次元に拡張したものです。材料力学で用いた理論は、ベクトルによる表示が多かったわけですが、3次元の問題では ベクトル表示だけでは、応力や変位等の情報を表現することができません。そこで、テンソルという概念を用いて、三次元問題の方程式に拡張します。ここでは、 テンソルの定義やベクトル及びスカラーとの関係について勉強しましょう。


・スカラー(0階のテンソル)
座標系xiについてただ1つの成分φをもち、 また別の座標系x'iについても1つのφ'をもち、座標変換をおこなっても

のようにその値が変わらないとき、φのことをスカラーといいます。例えば、質量がそうですね。座標系を 変えたとしても物体の持つ質量は変化しません。

・ベクトル(1階のテンソル)
座標系xiについて3つの成分viを、 また別の座標系x'iでも3つの成分v'iをもち、座標変換によってその成分が

のように変化するとき、viのことをベクトルといいます。ベクトルに代表されるのは力です。外力 は大きさと向きで表現されますね。

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・テンソル
1階テンソルの定義を2つの指標をもつ9個の成分を持つ量に拡張します。 すなわち、座標系xiにおいて9個の成分Tijを、 別の座標系x'iにおいても9個の成分T'ijをもち

のように変換されるとき、Tijのことを2階のテンソルといいます。 同様に、たとえば、4個の指標をもつ81個の成分SijklS'mnst

なる変換法則に従うとき、4階のテンソルといいます。 また、一般にn階のテンソルはつぎのように定義することができます。

2階のテンソルに代表されるのは「応力」や「ひずみ」です。例えば、物体の応力は切断面によって値が変わってきますね。 つまり、応力は絶対的な値を持っているわけではなく相対的に表すものです。テンソルで表しておけば、その成分を ひとまとめに書くことができて便利ですよね。ちなみに、4階のテンソルは弾性係数です。

座標の不変性
さて、ある座標系で何らかのテンソル方程式が得られたとします。

これを書き換えて

とおくとき、明らかにPj1j2…in = 0ですね。よって、別の座標系x'iへこれを変換すると、 P'i1i2…in = 0、すなわち

を得ます。このことは、ある座標系で得られた方程式を座標変換することによって、別の座標系でも同じ形の方程式が容易に得られることになります。 このような性質をテンソルの座標不変性といいます。
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