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テンソルとは

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弾性力学は材料力学で勉強した内容を３次元に拡張したものです。材料力学で用いた理論は、ベクトルによる表示が多かったわけですが、３次元の問題では

ベクトル表示だけでは、応力や変位等の情報を表現することができません。そこで、テンソルという概念を用いて、三次元問題の方程式に拡張します。ここでは、

テンソルの定義やベクトル及びスカラーとの関係について勉強しましょう。

テンソルとは

1階テンソルの定義を2つの指標をもつ9個の成分を持つ量に拡張します。

すなわち、座標系x_iにおいて9個の成分T_ijを、別の座標系x'_iにおいても9個の成分T'_ijをもち

のように変換されるとき、T_ijのことを2階のテンソルといいます。

同様に、たとえば、4個の指標をもつ81個の成分S_ijklとS'_mnstが

なる変換法則に従うとき、4階のテンソルといいます。

また、一般にn階のテンソルはつぎのように定義することができます。

2階のテンソルに代表されるのは｢応力｣や｢ひずみ｣です。例えば、物体の応力は切断面によって値が変わってきますね。

つまり、応力は絶対的な値を持っているわけではなく相対的に表すものです。テンソルで表しておけば、

その成分をひとまとめに書くことができて便利ですよね。ちなみに、4階のテンソルは弾性係数です。

スカラー（0階のテンソル）

座標系x_iについてただ1つの成分φをもち、

また別の座標系x'_iについても１つのφ'をもち、座標変換をおこなっても

のようにその値が変わらないとき、φのことをスカラーといいます。例えば、質量がそうですね。

座標系を変えたとしても物体の持つ質量は変化しません。

ベクトル（1階のテンソル）

座標系x_iについて3つの成分v_iを、

また別の座標系x'_iでも3つの成分v'_iをもち、座標変換によってその成分が

のように変化するとき、v_iのことをベクトルといいます。ベクトルに代表されるのは力です。

外力は大きさと向きで表現されますね。

座標の不変性

さて、ある座標系で何らかのテンソル方程式が得られたとします。

これを書き換えて

とおくとき、明らかにP_j1j2…in = 0ですね。よって、別の座標系x'_iへこれを変換すると、

P'_i1i2…in = 0、すなわち

を得ます。このことは、ある座標系で得られた方程式を座標変換することによって、別の座標系でも同じ形の方程式が容易に得られることになります。

このような性質をテンソルの座標不変性といいます。

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