応力テンソルの座標変換

【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！大好評の用語集と図解集のセット⇒　建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット(※既に26人にお申込みいただきました！）

ある直交座標系xiがθだけ回転しx'iの直交座標系となったときの座標変換について考えましょう。下図のように、x3の軸を起点としてθだけ回転させます。このとき、座標変換マトリクスは方向余弦より以下のように求めることができます（※誘導過程が知りたい人は当サイトの「座標変換について」をご覧ください）。

さて、元の座標系xiに応力テンソルが作用していたとします。この応力をx'iの直交座標系の成分に変換することを考えましょう。構造力学の基礎で取り扱ってきた、いわゆる「応力」は二次元の問題に縮退しているので、あまり気にならない問題でした。しかし、本質的に応力とはテンソルであるため、テンソルの座標変換をしっかりと理解しておく必要があります。

ベクトルや2階のテンソルの座標変換は以下のように定義されています。

ベクトル（1階のテンソル）の場合

のように変化するとき、viのことをベクトルという。

テンソル（2階のテンソル）の場合

のように変換されるとき、Tijのことを2階のテンソルといいます。例えば、2階のテンソルは「応力」であり、「歪」です。また、この2階のテンソルをさらに拡張したものが3階のテンソルや4階のテンソルです。4階のテンソルとは「弾性係数」に当たります。また、この定義を一般化すると、n階のテンソルの座標変換を表現することが出来ますね。

さて、xiの座標系がx'iにうつったときのテンソルの座標変換は次式のように