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応力テンソルの座標変換

ある直交座標系xiがθだけ回転しx'iの直交座標系となったときの座標変換について考えましょう。下図のように、x3の軸を起点としてθだけ回転させます。このとき、座標変換マトリクスは方向余弦より以下のように求めることができます(※誘導過程が知りたい人は当サイトの「座標変換について」をご覧ください)。


さて、元の座標系xiに応力テンソルが作用していたとします。この応力をx'iの直交座標系の成分に変換することを考えましょう。構造力学の基礎で取り扱ってきた、いわゆる「応力」は二次元の問題に縮退しているので、あまり気にならない問題でした。しかし、本質的に応力とはテンソルであるため、テンソルの座標変換をしっかりと理解しておく必要があります。

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ベクトルや2階のテンソルの座標変換は以下のように定義されています。

ベクトル(1階のテンソル)の場合

のように変化するとき、viのことをベクトルという。


テンソル(2階のテンソル)の場合

のように変換されるとき、Tijのことを2階のテンソルといいます。例えば、2階のテンソルは「応力」であり、「歪」です。また、この2階のテンソルをさらに拡張したものが3階のテンソルや4階のテンソルです。4階のテンソルとは「弾性係数」に当たります。また、この定義を一般化すると、n階のテンソルの座標変換を表現することが出来ますね。


さて、xiの座標系がx'iにうつったときのテンソルの座標変換は次式のように

で表されます。この式を応力で考えると、

となりますね。一番右の座標変換マトリクスが元の行列の転置行列となっていますが、これは、T'ij で列の値であった「j」がQjnでは行の値となっているからです。以上のマトリクスを解くと、

ここで、l=cosθ, m=sinθとします。また、式が長くなるので、後は各自解いて整理してみてください。上記で求めた式を纏めます。

となります。2次元の式に纏めると、

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