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3ヒンジラーメンの解き方と、反力の求め方

この記事の要点

3ヒンジラーメンの解き方は、両側ピン支点の反力（未知数4つ）に対して、ヒンジ点（曲げモーメント＝0）の条件を加えることで未知数を3つに減らして解きます。

ヒンジを境に左右どちらか一方のモーメントの釣り合いを考えると、水平反力を求めることができます。

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3ヒンジラーメンは部材途中にヒンジを設けた静定ラーメン構造で、ヒンジ点の曲げモーメント＝0の条件を用いて反力を求めます。

タップできる目次

3ヒンジラーメンとは？
3ヒンジラーメン解き方のポイント

3ヒンジラーメンの解き方は思っているよりも簡単です。

また、見た目が複雑ですが、これまでの反力の求め方と同じです。

今回は、集中荷重が作用する3ヒンジラーメンと、等分布荷重が作用する3ヒンジラーメンについて解き方や反力の求め方を説明します。

ラーメン構造の意味、静定ラーメンの解き方は下記が参考になります。

ラーメン構造とは？1分でわかる意味、特徴、由来、メリットとデメリット

静定ラーメンの解法-演習問題-

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3ヒンジラーメンとは？

3ヒンジラーメンは、部材の途中にヒンジが設けられ、支点はピンのラーメン構造です。

これまでラーメン構造は、片側ピン支点、片側ローラー支点がほとんどでした。未知数が3つなので、鉛直・水平・曲げモーメントの釣り合い式で解けます。一方、3ヒンジラーメンは、両側がピン支点なので未知数が4つです。

そこでポイントは部材の途中にある「ヒンジ」です。「3ヒンジ」とは、両側のピン支点（ヒンジ）2つと、部材の途中に設けられたヒンジ1つを合わせた意味です。

下図をみてください。これが3ヒンジラーメンです。

3ヒンジラーメン

ヒンジ（ピン）は曲げモーメントが必ず0になります。

これを利用し、ヒンジ周りの曲げモーメントの釣り合い式が解けます。

支点の未知数が4つですが、3ヒンジラーメンの場合は、ヒンジ周りの釣り合い式が1つ増えているため、未知数を4－1＝3にできるわけです。

3ヒンジラーメン解き方のポイント

3ヒンジラーメンの解き方は簡単です。大切なポイントは

・ヒンジは曲げモーメントが0になる
・ヒンジを境に左側又は右側の曲げモーメントの釣り合いを考える

となります。

解き方の流れは下記の１～３です。

① 鉛直、水平方向の釣り合い式を組み立てる
② 鉛直方向の反力を求める
③ ヒンジ周りの曲げモーメントの釣り合い式から、反力を求める

前述した③のヒンジ周りの曲げモーメント釣り合いでは、下図のようにヒンジを境に左側と右側にラーメン架構を分解します。

左側と右側にラーメン架構を分解

集中荷重が作用する3ヒンジラーメン

3ヒンジラーメンの解き方のポイントが分かったところで、実際に問題をときましょう。下図は集中荷重が作用する3ヒンジラーメンです。各支点に作用する反力を計算してください。

集中荷重が作用する3ヒンジラーメン

まず鉛直方向の反力の釣り合いを考えます。

ΣV=0
Ra+Rb=10

水平方向の釣り合いは、

ΣH=0
Ha+Hb=0

です。つまりHaとHbは同じ値になります。

次にＡ点の曲げモーメントの釣り合いを考えます。ここで釣り合いモーメントの釣り合いを考える理由は、未知数がＢ点の反力だけになるからです。また、モーメントの釣り合いを計算すると、Hbによるモーメントも0になるので、結果未知数は1つだけです。

ΣＭa＝0
10×3.0－6.0×Rb＝0
6.0Rb＝30
Rb＝5.0
ゆえに
Ra＝5.0

3ヒンジラーメンは、ヒンジを境に２つの架構に分けて考えます。まずヒンジを境に左側のモーメントの釣り合いを考えます。C点は、ピン接合なので曲げモーメントは0になります。

Ｃ点を基点にモーメントの釣り合いを考えます。

ΣＭｃ＝0
Ra×4.0－Ha×3.0－10×1.0=0
4Ra－3Ha=10
4×5－3Ha=10
－3Ha=10－20＝－10
Ha＝10/3
ゆえに
Hb＝－10/3

ラーメン架構の左側

以上、反力を整理すると下記の通りです。

Ra＝Rb＝5.0
Ha＝10/3
Hb＝－10/3

ちなみに、ヒンジの右側の釣り合いを考えると、さらに簡単です。右側は外力が作用していないので、計算が簡単になるからです。

ΣＭｃ＝0
－Rb×2.0－Hb×3.0=0
2Rb+3Hb=0
2×5.0+3Hb=0
Hb=－10/3

以降、残りの反力は前述した手順で算定します。

ラーメン架構の右側

等分布荷重が作用する3ヒンジラーメン

最後に等分布荷重が作用する3ヒンジラーメンの反力を計算します。計算の流れは集中荷重の例題と同じです。

等分布荷重を受けるラーメン構造

まず鉛直方向の反力の釣り合いを考えます。

ΣV=0
Ra+Rb=2×6.0=12

水平方向の釣り合いは、

ΣH=0
Ha+Hb=0

荷重は左右対称に作用しているので、Ａ点の曲げモーメントの釣り合いを考えるまでもなく、鉛直方向の反力はＡとＢで同じ値です。

Ra＝Rb＝6.0×2/2=6.0

Ｃ点を基点に右側のモーメントの釣り合いを考えます。

ΣＭｃ＝0
－Rb×2.0－Hb×3.0－2×2×2/2=0
－6.0×2.0－Hb×3.0－2×2×2/2=0
－12.0－3Hb－8=0
3Hb=－20.0
Hb－20/3
ゆえに
Ha＝20/3

以上、反力を整理すると下記の通りです。

Ra＝Rb＝6.0
Ha＝20/3
Hb＝－20/3

試験での問われ方｜管理人の一言

試験では、3ヒンジラーメンの反力の求め方がよく出題されます。

ポイントは2つ：ヒンジ点では曲げモーメントが0になること、ヒンジを境に一方の架構だけのモーメント釣り合いを考えること。

計算の流れ（鉛直→水平→ヒンジ周りのモーメント）を手順として覚えておくと確実です。

3ヒンジラーメンを整理した表を示します。

項目	内容	備考
支点の種類	両側ピン支点＋部材中間ヒンジ1箇所＝3ヒンジ	未知数4→ヒンジ条件で3に削減
解法の手順	①鉛直・水平の釣り合い②鉛直反力算定③ヒンジ周りのモーメント釣り合いで水平反力算定	ΣMc＝0を適用
ヒンジの特性	ヒンジ点では曲げモーメント＝0	静定構造として解ける条件