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3ヒンジラーメンの解き方と、反力の求め方

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3ヒンジラーメンの解き方は思っているよりも簡単です。また、見た目が複雑ですが、これまでの反力の求め方と同じです。今回は、集中荷重が作用する3ヒンジラーメンと、等分布荷重が作用する3ヒンジラーメンについて解き方や反力の求め方を説明します。

ラーメン構造の意味、静定ラーメンの解き方は下記が参考になります。

ラーメン構造とは？1分でわかる意味、特徴、由来、メリットとデメリット

静定ラーメンの解法-演習問題-

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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3ヒンジラーメンとは？

3ヒンジラーメンは、部材の途中にヒンジが設けられ、支点はピンのラーメン構造です。

これまでラーメン構造は、片側ピン支点、片側ローラー支点がほとんどでした。未知数が3つなので、鉛直・水平・曲げモーメントの釣り合い式で解けます。一方、3ヒンジラーメンは、両側がピン支点なので未知数が4つです。

そこでポイントは部材の途中にある「ヒンジ」です。「3ヒンジ」とは、両側のピン支点（ヒンジ）2つと、部材の途中に設けられたヒンジ1つを合わせた意味です。

下図をみてください。これが3ヒンジラーメンです。

ヒンジ（ピン）は曲げモーメントが必ず0になります。これを利用し、ヒンジ周りの曲げモーメントの釣り合い式が解けます。支点の未知数が4つですが、3ヒンジラーメンの場合は、ヒンジ周りの釣り合い式が1つ増えているため、未知数を4－1＝3にできるわけです。

3ヒンジラーメン解き方のポイント

3ヒンジラーメンの解き方は簡単です。大切なポイントは

• ・ヒンジは曲げモーメントが0になる
• ・ヒンジを境に左側又は右側の曲げモーメントの釣り合いを考える

となります。

解き方の流れは下記の１～３です。

• ① 鉛直、水平方向の釣り合い式を組み立てる
• ② 鉛直方向の反力を求める
• ③ ヒンジ周りの曲げモーメントの釣り合い式から、反力を求める

前述した③のヒンジ周りの曲げモーメント釣り合いでは、下図のようにヒンジを境に左側と右側にラーメン架構を分解します。

集中荷重が作用する3ヒンジラーメン

3ヒンジラーメンの解き方のポイントが分かったところで、実際に問題をときましょう。下図は集中荷重が作用する3ヒンジラーメンです。各支点に作用する反力を計算してください。

まず鉛直方向の反力の釣り合いを考えます。

• ΣV=0
• Ra+Rb=10

水平方向の釣り合いは、

• ΣH=0
• Ha+Hb=0

です。つまりHaとHbは同じ値になります。

次にＡ点の曲げモーメントの釣り合いを考えます。ここで釣り合いモーメントの釣り合いを考える理由は、未知数がＢ点の反力だけになるからです。また、モーメントの釣り合いを計算すると、Hbによるモーメントも0になるので、結果未知数は1つだけです。

• ΣＭa＝0
• 10×3.0－6.0×Rb＝0
• 6.0Rb＝30
• Rb＝5.0
• ゆえに
• Ra＝5.0

3ヒンジラーメンは、ヒンジを境に２つの架構に分けて考えます。まずヒンジを境に左側のモーメントの釣り合いを考えます。C点は、ピン接合なので曲げモーメントは0になります。

Ｃ点を基点にモーメントの釣り合いを考えます。

• ΣＭｃ＝0
• Ra×4.0－Ha×3.0－10×1.0=0
• 4Ra－3Ha=10
• 4×5－3Ha=10
• －3Ha=10－20＝－10
• Ha＝10/3
• ゆえに
• Hb＝－10/3

以上、反力を整理すると下記の通りです。

• Ra＝Rb＝5.0
• Ha＝10/3
• Hb＝－10/3

ちなみに、ヒンジの右側の釣り合いを考えると、さらに簡単です。右側は外力が作用していないので、計算が簡単になるからです。

• ΣＭｃ＝0
• －Rb×2.0－Hb×3.0=0
• 2Rb+3Hb=0
• 2×5.0+3Hb=0
• Hb=－10/3

以降、残りの反力は前述した手順で算定します。

等分布荷重が作用する3ヒンジラーメン

最後に等分布荷重が作用する3ヒンジラーメンの反力を計算します。計算の流れは集中荷重の例題と同じです。

まず鉛直方向の反力の釣り合いを考えます。

• ΣV=0
• Ra+Rb=2×6.0=12

水平方向の釣り合いは、

• ΣH=0
• Ha+Hb=0

荷重は左右対称に作用しているので、Ａ点の曲げモーメントの釣り合いを考えるまでもなく、鉛直方向の反力はＡとＢで同じ値です。

Ra＝Rb＝6.0×2/2=6.0

Ｃ点を基点に右側のモーメントの釣り合いを考えます。

• ΣＭｃ＝0
• －Rb×2.0－Hb×3.0－2×2×2/2=0
• －6.0×2.0－Hb×3.0－2×2×2/2=0
• －12.0－3Hb－8=0
• 3Hb=－20.0
• Hb－20/3
• ゆえに
• Ha＝20/3

以上、反力を整理すると下記の通りです。

• Ra＝Rb＝6.0
• Ha＝20/3
• Hb＝－20/3

まとめ

今回は3ヒンジラーメンについて説明しました。前述したようにポイントはたった２つ。ヒンジ周りの曲げモーメントは0になること。ヒンジを境に左側又は右側に分けて釣り合い式を解くこと。これを覚えておけば迷うことはありません。

各応力の算定は一般的なラーメン構造と同じです。下記の記事が参考になります。

静定ラーメンの解法

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• 「わかる構造力学」
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