断面二次極モーメント（Ip）とは？長方形の公式・Ix+Iyとの関係
この記事の要点
断面二次極モーメント（Ip）はねじり剛性の指標です。
Ip=Ix+Iyで求められ、長方形ではIp=bh(b2+h2)/12となります。
ねじり応力の計算に用います。
この記事では、断面二次極モーメントとは何か、公式はどう求めるのか、Ix+Iyとの関係を整理します。
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断面二次極モーメントとは、半径rに関する（極座標に関する）断面二次モーメントです。
似た用語に断面二次モーメントがあります。
これは直交座標であるｘ軸またはｙ軸に対する値です。
今回は断面二次極モーメントの意味、長方形の公式と計算方法、単位、断面二次モーメントとの関係について説明します。
断面二次モーメントの公式、計算方法は下記が参考になります。
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断面二次極モーメントとは？
断面二次極モーメントとは、半径rに関する（極座標）断面二次モーメントです。下式で計算します。
Ip=∫r2dA
Ipは断面二次極モーメントの値、∫は積分記号、rは原点から任意の位置までの半径、dAは任意の位置における微小面積です。下図をみてください。上式を示しました。
さらに、半径ｒはｘとｙによる変換が可能です。円の半径の公式を思い出してください。
ｒ2＝x2+y2
ですね。よって、断面二次極モーメントは下式と同じことです。
Ip=∫r2dA＝∫(x2+y2)dA＝∫ｘ2dA +∫y2dA＝Ix+Iy
断面二次極モーメントは、直交座標に関する断面二次モーメント２つを足し合わせて計算できます。ｘ軸、ｙ軸に関する断面二次モーメントの公式、求め方は下記が参考になります。
長方形の断面二次極モーメントの公式と計算方法
長方形の断面二次極モーメントの公式を計算しましょう。
まず、断面二次極モーメントの公式は、
でした。よって、ｘ軸とｙ軸に関する断面二次モーメントを足し合わせた値です。今回、下図に示す長方形の「図心」を起点に断面二次極モーメントを求めます。
ｘ軸、y軸の図心周りの断面二次モーメントは、
ｘ軸回り bh3/12
ｙ軸回り hb3/12
です。※上公式は、下記が参考になります。
よって、断面二次極モーメントは
Iｐ＝bh3/12+ hb3/12＝bh(h2+b2)/12
です。
断面二次極モーメントの単位
断面二次極モーメントの単位は、
cm4
mm4
m4
等を使います。建築で扱う断面二次モーメントは数値の桁が大きいのでcm4が一般的です。
断面二次極モーメントと断面二次モーメントの関係
前述したように、断面二次極モーメントは直交座標におけるｘ軸とｙ軸の断面二次モーメントを足し合わせた値です。是非覚えてくださいね。
混同しやすい用語
断面二次極モーメント（Ip）
原点（断面重心）からの距離rの二乗を積分した値。
Ip=Ix+Iy。
ねじり計算に使う。
断面二次モーメント（Ix, Iy）
x軸またはy軸からの距離yの二乗を積分した値。
曲げ剛性の算定に使う。
断面二次極モーメントを整理した表を示します。
| 項目 | 内容 | 備考 |
|---|---|---|
| 定義式 | Ip = Ix + Iy | 極座標における断面二次モーメント |
| 長方形断面の公式 | Ip = bh(b2+h2)/12 | b:幅、h:高さ |
| 単位 | cm4・mm4（長さの四乗） | 断面二次モーメントと同じ次元 |
まとめ
今回は断面二次極モーメントについて説明しました。意味が理解頂けたと思います。断面二次極モーメントは、半径rに関する断面二次モーメントです。公式の意味、計算方法、断面二次モーメントとの関係を覚えましょう。下記も併せて勉強してくださいね。
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理解度チェック
断面二次極モーメント（Ip）とは何か、定義式とともに説明してください。
答えを見る
断面二次極モーメントは半径r（極座標）に関する断面二次モーメントで、ねじり剛性の指標です。Ip＝∫r2dA（rは原点から任意位置までの半径、dAは微小面積）で計算します。
断面二次極モーメントとIx・Iyの関係を、導出とともに説明してください。
答えを見る
r2＝x2+y2 なので、Ip＝∫r2dA＝∫x2dA+∫y2dA＝Ix+Iy となります。つまり断面二次極モーメントは、直交座標のx軸・y軸まわりの断面二次モーメントを足し合わせた値です。
長方形の断面二次極モーメントの公式を導いてください。
答えを見る
長方形の図心まわりの断面二次モーメントは x軸回り bh3/12、y軸回り hb3/12 です。よって Ip＝Ix+Iy＝bh3/12+hb3/12＝bh(h2+b2)/12 となります。単位はcm4・mm4です。
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- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
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