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断面二次極モーメント（Ip）とは？長方形の公式・Ix+Iyとの関係

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断面二次極モーメントとは、半径rに関する（極座標に関する）断面二次モーメントです。

似た用語に断面二次モーメントがあります。

これは直交座標であるｘ軸またはｙ軸に対する値です。

今回は断面二次極モーメントの意味、長方形の公式と計算方法、単位、断面二次モーメントとの関係について説明します。

断面二次モーメントの公式、計算方法は下記が参考になります。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

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断面二次極モーメントとは？

断面二次極モーメントとは、半径rに関する（極座標）断面二次モーメントです。下式で計算します。

Ip=∫r²dA

Ipは断面二次極モーメントの値、∫は積分記号、rは原点から任意の位置までの半径、dAは任意の位置における微小面積です。下図をみてください。上式を示しました。

さらに、半径ｒはｘとｙによる変換が可能です。円の半径の公式を思い出してください。

ｒ²＝x²+y²

ですね。よって、断面二次極モーメントは下式と同じことです。

Ip=∫r²dA＝∫(x²+y²)dA＝∫ｘ²dA +∫y²dA＝Ix+Iy

断面二次極モーメントは、直交座標に関する断面二次モーメント２つを足し合わせて計算できます。ｘ軸、ｙ軸に関する断面二次モーメントの公式、求め方は下記が参考になります。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

長方形の断面二次極モーメントの公式と計算方法

長方形の断面二次極モーメントの公式を計算しましょう。

まず、断面二次極モーメントの公式は、

でした。よって、ｘ軸とｙ軸に関する断面二次モーメントを足し合わせた値です。今回、下図に示す長方形の「図心」を起点に断面二次極モーメントを求めます。

ｘ軸、y軸の図心周りの断面二次モーメントは、

ｘ軸回り　bh³/12

ｙ軸回り　hb³/12

です。※上公式は、下記が参考になります。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

よって、断面二次極モーメントは

Iｐ＝bh³/12+ hb³/12＝bh(h²+b²)/12

です。

断面二次極モーメントの単位

断面二次極モーメントの単位は、

cm⁴

mm⁴

m⁴

等を使います。建築で扱う断面二次モーメントは数値の桁が大きいのでcm⁴が一般的です。

断面二次極モーメントと断面二次モーメントの関係

前述したように、断面二次極モーメントは直交座標におけるｘ軸とｙ軸の断面二次モーメントを足し合わせた値です。是非覚えてくださいね。

断面二次極モーメントを整理した表を示します。

項目	内容	備考
定義式	Ip = Ix + Iy	極座標における断面二次モーメント
長方形断面の公式	Ip = bh(b2+h2)/12	b:幅、h:高さ
単位	cm4・mm4（長さの四乗）	断面二次モーメントと同じ次元

まとめ

今回は断面二次極モーメントについて説明しました。意味が理解頂けたと思います。断面二次極モーメントは、半径rに関する断面二次モーメントです。公式の意味、計算方法、断面二次モーメントとの関係を覚えましょう。下記も併せて勉強してくださいね。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

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プロフィール

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• 名前　ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


• 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。


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