断面二次半径とは？計算式・断面形状別の公式と座屈設計への影響（H形鋼・角パイプ）

例題1　長方形断面の断面二次半径を求めよ

幅 B = 100mm、高さ H = 200mm の長方形断面の断面二次半径 i を求めよ。

断面二次モーメントと断面積を求める。

$$I = \frac{BH^3}{12} = \frac{100 \times 200^3}{12} = 66{,}666{,}667 \text{ mm}^4$$ $$A = B \times H = 100 \times 200 = 20{,}000 \text{ mm}^2$$

断面二次半径を求める。

$$i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{66{,}666{,}667}{20{,}000}} = \sqrt{3{,}333} \approx 57.7 \text{ mm}$$

長方形断面では \(I/A = H^2/12\) と整理されるため、\(i = H/\sqrt{12}\) と直接計算できる。

幅 B には依存しない。

例題2　角パイプ（□-150×150×9）の断面二次半径を求めよ

外寸 □-150×150mm、板厚 t = 9mm の正方形角パイプの断面二次半径 i を求めよ。

内寸を求める。

$$b = h = 150 - 2 \times 9 = 132 \text{ mm}$$

断面二次モーメントと断面積を求める。

$$I = \frac{BH^3 - bh^3}{12} = \frac{150 \times 150^3 - 132 \times 132^3}{12} = \frac{202{,}654{,}224}{12} = 16{,}887{,}852 \text{ mm}^4$$ $$A = BH - bh = 150^2 - 132^2 = 22{,}500 - 17{,}424 = 5{,}076 \text{ mm}^2$$

断面二次半径を求める。

$$i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{16{,}887{,}852}{5{,}076}} \approx 57.7 \text{ mm}$$

同じ外寸の中実正方形断面（i ≒ 43.3mm）より断面二次半径が大きくなる。

材料を外側に分散させた効果により、角パイプは柱部材として座屈に有利な断面形状である。

例題3　H形鋼（H-200×200×8×12）の断面二次半径と細長比を求めよ

H形鋼 H-200×200×8×12 を柱として使用する。

有効座屈長さ \(l_k\) = 3,500mm のとき、強軸方向の断面二次半径 \(i_x\) および細長比 \(\lambda\) を求めよ。

断面積を求める（H = 200mm、B = 200mm、ウェブ厚 \(t_w\) = 8mm、フランジ厚 \(t_f\) = 12mm）。

$$A = 2 \times (B \times t_f) + (H - 2t_f) \times t_w = 2 \times (200 \times 12) + 176 \times 8 = 6{,}208 \text{ mm}^2$$

断面二次モーメントを求める。

$$I_x = \frac{BH^3 - (B - t_w)(H - 2t_f)^3}{12} = \frac{200 \times 200^3 - 192 \times 176^3}{12} = 46{,}104{,}917 \text{ mm}^4$$

断面二次半径と細長比を求める。

$$i_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}} = \sqrt{\frac{46{,}104{,}917}{6{,}208}} \approx 86.2 \text{ mm}$$ $$\lambda = \frac{l_k}{i_x} = \frac{3{,}500}{86.2} \approx 40.6$$

建築基準法施行令では鋼造柱の細長比は 200 以下と規定されている。

\(\lambda\) = 40.6 は十分小さく、座屈の懸念は低い。

実務では断面表（\(i_x\) ≒ 8.62cm）と照合して確認する。